3.1.6. Другой способ вычисления коэффициентов ak.

Вернемся к разложению функции в ряд по смещенным многочленам Якоби, т. е. к формуле (3.1.16), и выясним, какое разложение функции являющейся преобразованием Лапласа функции соответствует разложению (3.1.16). Для этого разложим в ряд по смещенным многочленам Якоби функцию :

где

Для вычисления воспользуемся формулой (3.1.10) для многочленов тогда получим

Теперь, проинтегрировав по частям раз, получим

Таким образом, разложение по многочленам имеет вид

где определяется формулой (3.1.12).

Замечание. Обозначим множество функций определенных на отрезке и интегрируемых там с квадратом по весу Пусть ортонормируемая система функций замкнута в множестве т. е. такова, что для верно

равенство Парсеваля

Тогда для всяких двух функций принадлежащих верно обобщенное равенство Парсеваля

Для доказательства рассмотрим функцию Так как она принадлежит для нее, ввиду верно равенство

с другой стороны,

Из сравнения правых частей двух последних равенств сразу же следует

Воспользуемся теперь обобщенным равенством Парсеваля, применив его к разложениям (3.1.16) и (3.1.29):

(см. скан)

Замечание. Неравенством Шварца — Буняковского (Буняковского-Коши) для сходящихся бесконечных рядов называется неравенство

где — коэффициенты рядов.

Аналогом того же неравенства для сходящихся интегралов является неравенство

Используя неравенство Шварца — Буняковского, можно показать, что последний ряд сходится абсолютно и равномерно в полуплоскости

В частности, если положить равным целому положительному числу то разложение (3.1.30) примет вид

Полагая в (3.1.31) получим бесконечную треугольную систему уравнений относительно коэффициентов а. (Заметим, что предполагается

Для того чтобы коэффициент при уравнении системы сделать равным 1, систему (3.1.31) перепишем в виде

Системой (3.1.32) можно пользоваться для нахождения коэффициентов разложения (3.1.16).

В случае разложения по смещенным многочленам Лежандра в (3.1.32) положим тогда коэффициенты

разложения (3.1.22) вычисляются из системы

или

Для разложений (3.1.25) и (3.1.28) по смещенным многочленам Чебышева первого и второго рода нельзя получить систему для определения непосредственно из (3.1.32), так как эти многочлены отличаются от многочленов постоянным множителем. Но, проделав аналогичные выкладки, можно получить треугольные системы уравнений для определения коэффициентов разложений (3.1.25) и (3.1.28). Для разложения (3.1.25) система имеет вид

для разложения (3.1.28) — вид