ГЛАВА 5. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ПРИ ПОМОЩИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ, ИМЕЮЩИХ НАИВЫСШУЮ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ

§ 5.1. Теория квадратурных формул

Для вычисления интеграла Меллина

в гл. 4 были построены интерполяционные квадратурные формулы, точные для многочленов степени от аргументов или . Такая степень точности при заданных узлах интерполирования в полуплоскости достигалась за счет выбора квадратурных коэффициентов

При построении квадратурных формул естественно выбирать не только коэффициенты, но и узлы. Можно надеяться, что их выбором степень точности формулы можно увеличить. В этой главе будет построена квадратурная формула наивысшей степени точности в классе рациональных функций частного вида.

Но прежде чем строить такую формулу, преобразуем интеграл (5.1.1), чтобы параметры квадратурной формулы не зависели от a и t. Для этого сделаем замену переменной После этой замены интеграл (5.1.1) преобразуется к виду

Так как функция была регулярна в полуплоскости функция будет регулярной справа от мнимой оси может быть любым положительным числом. Таким образом, вычисление интеграла Меллина сводится к вычислению интеграла

где переменная интегрирования снова обозначена через

Функция как функция-изображение, кроме регулярности в правой полуплоскости, обладает еще тем свойством, что она стремится к нулю при удалении на бесконечность так, что Допустим, кроме этого, что стремится к нулю, как некоторая степень т. е. предположим, что представима в виде

где а функция регулярна в полуплоскости и имеет конечное предельное значение при

Подставим выражение (5.1.3) в интеграл (5.1.2):

Для вычисления этого интеграла будем строить квадратурную формулу следующего вида:

В формуле (5.1.5) произвольными величинами являются коэффициенты и узлы Выбором их можно распорядиться. Будем пытаться выбирать их так, чтобы формула (5.1.5) была точной для любого многочлена степени от переменной Необходимое и достаточное условие для этого дает следующая

Теорема 1. Для того чтобы квадратурная формула (5.1.5) была точной для всех многочленов степени от переменной необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1. Формула (5.1.5) должна быть интерполяционной, т. е. ее коэффициенты должны иметь значения

где

2. Для всякого многочлена степени не выше должно выполняться равенство

где

Доказательство теоремы проводится совершенно аналогично доказательству соответствующей теоремы о квадратурах наивысшей алгебраической степени точности (см. [6], стр. 117).

Необходимость. Если формула (5.1.5) верна для многочленов степени от переменной то она верна и для многочленов степени от и поэтому она должна быть интерполяционной. Необходимость первого условия доказана.

Пусть теперь любой многочлен степени не выше Произведение есть многочлен тепени не выше и для него формула (5.1.5)

должна быть точной:

Последняя сумма равна нулю, так как Это доказывает необходимость условия (5.1.7).

Достаточность. Пусть произвольный многочлен степени Разделив его на получим равенство

где многочлены от степени не выше Так как

Интеграл от функции представим в виде суммы двух следующих интегралов:

Первый интеграл в правой части равен нулю по условию ортогональности. Так как степень не выше а формула (5.1.5) интерполяционная, то должно

быть точным равенство

Учитывая (5.1.8) и (5.1.9), получаем

и формула (5.1.5) действительно будет точной для произвольных многочленов степени от Теорема доказана.

Таким образом, вопрос о возможности построения квадратурной формулы (5.1.5), точной для произвольных многочленов степени связан с существованием многочлена степени обладающего свойством ортогональности (5.1.7).

Покажем, что этот многочлен существует и условие (5.1.7) определяет его единственным образом. Будем искать многочлен в виде разложения по степеням

Условие ортогональности (5.1.7) равносильно выполнению системы равенств

Так как , то система (5.1.10) преобразуется в систему

Умножим равенства (5.1.11) на и запишем полученную систему в виде

Определитель этой системы есть

Достаточно убедиться в том, что так как тогда система (5.1.12) будет иметь решение и только одно. Рассмотрим систему функций Они линейно независимы на любом отрезке, не приводящемся к точке. Построим линейное дифференциальное уравнение порядка для которого эти функции образуют полную систему независимых решений:

Если разложить определитель по элементам первой строки и разделить обе части уравнения на то последнее уравнение можно записать так:

где

Действительно, рассмотрим алгебраическое дополнение элемента у.

Из элементов первого, второго, столбцов вынесем за знак определителя соответственно Затем из элементов строк оставшегося определителя вынесем множители В итоге получим определитель где D равно

и буквой M обозначен множитель, на единицу меньший предыдущего.

Совершенно аналогично устанавливается, что алгебраические дополнения элементов равны соответственно

Этим доказывается разложение (5.1.13).

Уравнение (5.1.13) является уравнением Эйлера и имеет две особые точки:

Выпишем определитель Вронского для решений этого уравнения:

Так как решения уравнения (5.1.13) линейно независимы, то определитель (5.1.14) может равняться нулю только в особых точках уравнения, т. е. в точках В остальных точках он отличен от нуля, в частности, и в точке Но при

определитель совпадает с определителем и поэтому следовательно, система (5.1.12) имеет единственное решение.

Таким образом, существование и единственность многочлена доказаны.

Так как весовая функция в (5.1.7) зависит от параметра то и многочлен тоже будет зависеть от

Будем обозначать его Чтобы закончить исследование возможности построения формулы (5.1.5), точной для многочленов степени от необходимо показать, что все корни многочленов при любых лежат в правой полуплоскости. Этот вопрос будет рассмотрен в следующем параграфе.

Квадратурная формула (5.1.5) наивысшей степени точности для интеграла (5.1.4) в частном случае была построена Солзером (см. [8]).