Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА 5. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ПРИ ПОМОЩИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ, ИМЕЮЩИХ НАИВЫСШУЮ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ§ 5.1. Теория квадратурных формулДля вычисления интеграла Меллина
в гл. 4 были построены интерполяционные квадратурные формулы, точные для многочленов степени При построении квадратурных формул естественно выбирать не только коэффициенты, но и узлы. Можно надеяться, что их выбором степень точности формулы можно увеличить. В этой главе будет построена квадратурная формула наивысшей степени точности в классе рациональных функций частного вида. Но прежде чем строить такую формулу, преобразуем интеграл (5.1.1), чтобы параметры квадратурной формулы не зависели от a и t. Для этого сделаем замену переменной
Так как функция
где переменная интегрирования снова обозначена через Функция
где
Подставим выражение (5.1.3) в интеграл (5.1.2):
Для вычисления этого интеграла будем строить квадратурную формулу следующего вида:
В формуле (5.1.5) произвольными величинами являются коэффициенты Теорема 1. Для того чтобы квадратурная формула (5.1.5) была точной для всех многочленов степени 1. Формула (5.1.5) должна быть интерполяционной, т. е. ее коэффициенты
где
2. Для всякого многочлена
где
Доказательство теоремы проводится совершенно аналогично доказательству соответствующей теоремы о квадратурах наивысшей алгебраической степени точности (см. [6], стр. 117). Необходимость. Если формула (5.1.5) верна для многочленов степени Пусть теперь должна быть точной:
Последняя сумма равна нулю, так как Достаточность. Пусть
где
Интеграл от функции
Первый интеграл в правой части равен нулю по условию ортогональности. Так как степень не выше быть точным равенство
Учитывая (5.1.8) и (5.1.9), получаем
и формула (5.1.5) действительно будет точной для произвольных многочленов степени Таким образом, вопрос о возможности построения квадратурной формулы (5.1.5), точной для произвольных многочленов степени Покажем, что этот многочлен существует и условие (5.1.7) определяет его единственным образом. Будем искать многочлен
Условие ортогональности (5.1.7) равносильно выполнению системы равенств
Так как
Умножим равенства (5.1.11) на
Определитель этой системы есть
Достаточно убедиться в том, что
Если разложить определитель по элементам первой строки и разделить обе части уравнения на
где Действительно, рассмотрим алгебраическое дополнение элемента у.
Из элементов первого, второго,
и буквой M обозначен множитель, на единицу меньший предыдущего. Совершенно аналогично устанавливается, что алгебраические дополнения элементов
Этим доказывается разложение (5.1.13). Уравнение (5.1.13) является уравнением Эйлера и имеет две особые точки: Выпишем определитель Вронского для решений
Так как решения
Таким образом, существование и единственность многочлена Так как весовая функция в (5.1.7) зависит от параметра Будем обозначать его Квадратурная формула (5.1.5) наивысшей степени точности для интеграла (5.1.4) в частном случае
|
1 |
Оглавление
|