4.5.2. Сходимость интерполяционного процесса вида (4.3.4).

При построении такого процесса нам приходилось интерполировать функцию на линии интегрирования по ее значениям в точках диаметра круга в который переходит полуплоскость а при линейном преобразовании

Будем считать, что в данном преобразовании Это не ограничивает общности, на что уже указывалось в § 4.3.

Далее, напомним, что линия интегрирования, на которой мы интерполируем функцию (если число с выбрать достаточно большим), является окружностью малого

радиуса, лежащей внутри единичного круга и касающейся его окружности в точке 1:

Сначала поставим такую задачу: выяснить, для какого класса функций интерполяционный процесс будет сходиться равномерно линии интегрирования при любом выборе узлов на диаметре единичного круга. Равномерная сходимрсть интерполирования будет главным образом зависеть от величины области регулярности функции Если эта область будет достаточно широкой вблизи диаметра то можно заранее предсказать, что интерполяционный процесс будет наверное равномерно сходиться, как бы ни выбирать узлы на этом диаметре. Укажем теперь наименьшую область, в которой должна быть регулярной функция чтобы можно было гарантировать равномерную сходимость интерполирования на линии интегрирования при любых узлах на

Справедлива следующая

Теорема 1. Если функция регулярна в замкнутом круге и в окрестности точки то интерполяционный процесс (4.3.4), построенный по любым узлам, лежащим на диаметре единичного круга, будет равномерно сходиться к на линии Указанная область регулярности является наименьшей, обеспечивающей сходимость интерполирования при любой системе узлов на диаметре круга

Доказательство. Эта теорема сразу же следует из общей теоремы, доказанной В. И. Смирновым и Н. А. Лебедевым Напомним ее в той постановке, в которой задача решена этими авторами.

Пусть три непустых множества точек комплексной плоскости причем Будем говорить, что выполняется условие если для всякой функции регулярной на при любом выборе узлов интерполирования из любого ограниченного подмножества

последовательность интерполяционных многочленов для функции равномерно сходится к при на всяком ограниченном подмножестве

Доказано, что если два замкнутых ограниченных множества точек плоскости наименьший замкнутый круг, содержащий множество В и имеющий центр в точке то множество является наименьшим замкнутым множеством, для которого выполняется условие

В нашем случае множество отрезок , множество окружность Чтобы найти множество построим два наименьших замкнутых круга с центрами в точках содержащих линию Первый круг определяется неравенством второй — неравенством Сумма их и будет искомым множеством

Замечание. В условиях теоремы 1 равномерная сходимость будет иметь место не только на окружности но и внутри ее.

Если перейти из плоскости х в плоскость и от функции к функции то теорему 1 можно сформулировать так:

Теорема 1а. Если функция регулярна в полуплоскости и в области , то интерполяционный процесс (4.3.5), построенный по любым узлам, лежащим на действительной полуоси будет равномерно сходиться к в полуплоскости Указанная область регулярности будет наименьшей, обеспечивающей сходимость интерполирования при по любой системе узлов на неотрицательной действительной полуоси.

Теперь поставим другую задачу. Известно, что функция регулярна в единичном круге Предположим, кроме этого, что она регулярна в окрестности точки Попытаемся определить наибольший отрезок, принадлежащий диаметру круга такой, чтобы интерполяционный процесс (4.3.4), построенный по любым узлам из этого отрезка, сходился бы равномерно к функции на линии для любой функции регулярной в указанной ранее области.

Теорема 2. Если функция регулярна в круге окрестности точки то интерполяционный процесс (4.3.4), построенный по любым узлам, лежащим на отрезке [0, 1], будет равномерно сходиться к на окружности

Отрезок [0, 1] будет наибольшим множеством, принадлежащим диаметру круга, обеспечивающим равномерную сходимость интерполирования по любым узлам, взятым на этом множестве, для функций, регулярных в указанной области.

Эта теорема может быть доказана на основании результата, принадлежащего В. И. Смирнову и Н. А. Лебедеву (см. сноску на стр. 77). Ими установлено, что если —два множества точек конечной плоскости причем В — замкнутое ограниченное непустое множество, отлично от конечной плоскости и то наибольшим замкнутым множеством для которого выполняется условие является множество центров всех замкнутых кругов К таких, что

В нашей теореме -сумма кругов окружность Искомое множество множество центров кругов, содержащих В и содержащихся в Кроме того, мы наложили требование, чтобы эти центры принадлежали диаметру единичного круга.

1 Тогда очевидно, что множество замкнутый отрезок [0, 1].

Если вновь перейти от плоскости х к плоскости то теорема 2 будет следующей.

Теорема 2а. Если функция регулярна в полуплоскости а также в области то интерполяционный процесс (4.3.5), построенный по любым узлам, расположенным на действительной оси так, что равномерно сходится к на прямой Полуось будет наибольшей областью на действительной оси, обеспечивающей равномерную сходимость интерполирования по любым узлам, лежащим на ней, для функций регулярных в указанной выше области.

В теореме 1 мы указали наименьшую область, в которой функция должна быть регулярной, для того

чтобы интерполяционный процесс сходился равномерно на линии интегрирования для любых узлов, расположенных на диаметре единичного круга. Предположим теперь, что узлы выбираются не произвольными на этом диаметре, а имеют вполне определенное распределение. В этом случае возникает задача определения области регулярности функции, обеспечивающей равномерную сходимость интерполирования на линии интегрирования

Для исследования сходимости интерполирования большое значение имеет следующий логарифмический потенциал (см. [6], стр. 239):

где — предельная функция распределения узлов.

Рассмотрим линию уровня и При большом по абсолютной величине отрицательном значении такая линия будет содержать внутри себя отрезок и достаточно большую область вблизи него, в частности и линию интегрирования Назовем эту линию уровня а часть плоскости, ограниченную ею, обозначим Когда будет возрастать, будет уменьшаться. Определим число к как точную верхнюю границу значений при которых отрезок и линия интегрирования лежат внутри При линия уровня будет содержать внутри себя и линию интегрирования. Открытую область плоскости х, в которой назовем х, а дополнение к ней

Теорема 3. Если функция регулярна в некоторой области содержащей внутри себя то интерполяционный процесс (4.3.4), построенный по узлам с предельной функцией распределения при будет сходиться равномерно на линии интегрирования более того, он будет сходиться равномерно во всей области

Доказательство этой теоремы совершенно аналогично доказательству теоремы о сходимости интерполирования на отрезке с узлами, расположенными на этом же отрезке (см. [6], стр. 240—242).

Рассмотрим частный случай, когда предельная функция распределения узлов является функцией Чебышева. Так

будет, например, в том случае, когда узлами являются корни многочленов Чебышева, Лежандра, Якоби. Логарифмический потенциал будет иметь в этом случае вид (см. [6], стр. 246)

Линии уровня при будут эллипсами с фокусами и полуосями

При линия уровня и будет содержать внутри себя отрезок и окружность причем последняя касается линии уровня в двух симметричных относительно действительной оси точках. Следовательно, множество (5 будет состоять из эллипса с фокусами и полуосями

и части плоскости, лежащей внутри его. Это дает возможность высказать следующую теорему.

Теорема 4. Если функция регулярна в замкнутой области состоящей из эллипса с фокусами в точках и полуосями и области, лежащей внутри его, то интерполяционный процесс (4.3.4), построенный по узлам, имеющим в качестве предельной функции распределения узлов функцию Чебышева, при будет сходиться равномерно в указанном выше эллипсе и, в частности, на окружности

Эта теорема является частным случаем теоремы 3.

Замечание. Если число взять достаточно малым, что мы можем сделать, выбрав достаточно большим с, то указанный в теореме эллипс только в окрестности точек —1 и 1 будет выходить за пределы окружности . А так как функция является регулярной в круге то для выполнения условий теоремы 4 достаточно требовать регулярности в окрестности точек например в окрестностях

Снова перейдем от переменной х к переменной и от функции к функции Будет иметь место следующая Теорема 4а. Если функция регулярна в полуплоскости в окрестности точки и в окрестности бесконечно удаленной точки, то интерполяционный процесс (4.3.5), построенный по узлам где точки на отрезке имеют в качестве предельной функции распределения узлов функцию Чебышева, будет сходиться равномерно при на линии где с есть некоторое число, не меньшее

Замечание. В условиях теоремы равномерная сходимость интерполирования будет иметь место не только на линии интегрирования , но также в некоторой области в которую переходит область теоремы 4 при преобразовании частности, равномерная сходимость будет иметь место в полуплоскости в окрестности действительной полуоси и в окрестностях точек т. е. при некотором