9.3.2. Общее интерполяционное квадратурное правило.

Для удобства записи объединим косинус- и синус-преобразования Фурье в одном интеграле с показательной функцией

Если есть действительная функция, косинус- и синус-преобразования будут соответственно действительной и мнимой частью

Выше предполагалось, что и есть непрерывная и достаточно гладкая функция на полуоси

Интерполируем функцию при помощи многочлена степени от и запишем в форме (9.3.7)

Заменив в интеграле (9.3.15) оригинал его выражением

получим для следующее представление, которое после отбрасывания остаточного члена может служить вычислительным правилом для

Здесь коэффициенты зависят только от узлов и не зависят ни от ни от функции Их можно табулировать для наиболее употребительных систем узлов.

Интегралы зависят лишь от частоты и от т. е. от быстроты убывания при неограниченном возрастании мы укажем правила вычисления этих интегралов.

Из представления для погрешности в (9.3.16) просто получается равномерная относительно и оценка через погрешность интерполирования

Из нее вытекает теорема о сходимости вычислительного процесса, соответствующего (9.3.16).

Пусть процесс определяется бесконечной треугольной таблицей узлов интерполирования

Предположим, что интерполирование (9.3.7) функции выполняется по узлам принадлежащим строке номера таблицы Допустим теперь, что тогда имеет место следующая

Теорема 1. Пусть выполняются условия:

1) интерполяционный процесс (9.3.7), определяемый таблицей узлов (9.3.18), сходится для функции при почти всех значениях х на полуоси

2) погрешность интерполирования при всех достаточно больших удовлетворяет условию

Тогда остаточный член соответствующего вычислительного процесса (9.3.16) для преобразования

стремится к нулю при равномерно относительно и на оси

Эта теорема есть непосредственное следствие известной теоремы о предельном переходе в интеграле Лебега если последовательность суммируемых на множестве функций сходится почти везде на к суммируемой на функции и существует суммируемая на функция такая, что при всяких и же выполняется неравенство то

Для нахождения оценок погрешности в зависимости от свойств функции может быть полезно, по крайней мере в некоторых случаях, иное представление получающееся из (9.3.16) путем замены его представлением вида (9.3.14):

Сделаем еще замечание о знаке ядра двойного интеграла

Знак его совпадает со знаком выражения стоящего в фигурных скобках. Это выражение встречалось

в равенстве (9.3.9). Напомним, что оно является ядром в интегральном представлении погрешности следующей задачи алгебраического интерполирования.

Пусть узлы и точка х интерполирования лежат на отрезке и функция интерполируется по ее значениям многочленом степени Если имеет на непрерывную производную порядка то погрешность интерполирования представима через производную порядка от в форме

С другой стороны, для известно представление Лагранжа

откуда следует, что если производная отлична от нуля на не обращается в нуль ни в одной точке х, кроме узлов Поэтому при каждом фиксированном значении х, отличном от узлов ядро как функция от не изменяет свой знак при так как если бы ядро изменяло знак, то существовала бы такая функция сохраняющая знак, для которой интеграл (9.3.20) обращался бы в нуль, чего не может быть ввиду хфхк

Кроме того, если считать многочленом степени для которого то из обоих представлений погрешности следует

Стало быть, при каждом фиксированном х знак ядра совпадает со знаком