§ 1.3. Представление функций интегралом Лапласа

Приведем условия, достаточные для того, чтобы заданная функция комплексной переменной аналитическая в полуплоскости служила изображением некоторого оригинала, т. е. чтобы она могла быть представлена сходящимся интегралом Лапласа.

Но прежде напомним без доказательства некоторые факты из теории функций комплексного переменного, необходимые нам в дальнейшем.

Лемма Жордана. Если на некоторой последовательности дуг окружностей

функция стремится к нулю равномерно относительно то для любого положительного

Если те же условия выполнены на последовательности дуг окружностей

то для любого отрицательного

Теорема 5 (теорема Коши). Если функция аналитична в односвязной области то интеграл от нее вдоль любого замкнутого контура С, лежащего в равен нулю:

Теорема 6 (теорема о вычетах). Пусть однозначная функция непрерывна на границе С области D и аполитична внутри этой области всюду, кроме конечного числа особых точек Тогда

где вычет функции в особой точке а.

Вычет функции в полюсе порядка можно находить по формуле

Для полюсов первого порядка формула (1.3.4) упрощается:

Если при этом в окрестности точки а функция определена как частное двух аналитических в этой точке функций:

причем имеет в а нуль первого порядка (т. е. ), то формулу (1.3.5) можно заменить следующей:

Теперь вернемся к доказательству теоремы о представимости функции интегралом Лапласа.

Теорема 7. Если функция аналитична в полуплоскости стремится к нулю при в любой полуплоскости равномерно относительно и интеграл

абсолютно сходится, то является изображением функции

т. е. может быть представлена сходящимся интегралом Лапласа

для при этом интеграл Лапласа сходится абсолютно.

Доказательство. Возьмем некоторое число такое, что тогда из (1.3.8) следует

Рассмотрим внутренний интеграл. В нем следовательно, его можно переписать в виде

Оценим последний интеграл:

В силу условий теоремы интеграл (1.3.7) сходится абсолютно, поэтому интеграл в левой части неравенства (1.3.10) сходится равномерно относительно , и, следовательно, в формуле (1.3.9) можно изменить порядок

интегрирования:

причем последнее равенство верно, так как внутренний интеграл сходится в силу того, что

Рассмотрим дугу . В силу условий теоремы на этой дуге при следовательно,

и этот интеграл стремится к нулю при Отсюда следует, что прямую интегрирования в (1.3.11) можно заменить замкнутым контуром составленным из дуги и отрезка проходимого сверху вниз. Тогда формулу (1.3.11) можно записать в виде

Знак минус мы опустили, так как поменяли направление движения по прямой. Интеграл в правой части формулы (1.3.12) вычислим, применяя теорему о вычетах. Функция внутри контура имеет только одну особую точку — полюс первого порядка в точке Вычет ее в этой точке можно вычислить по формуле (1.3.6), он будет равен Тогда по формуле (1.3.3) найдем

А так как любая точка полуплоскости то из (1.3.13) следует, что представляется сходящимся интегралом Лапласа для всех для которых Позже мы покажем, что этот интеграл будет и абсолютно сходящимся.

Покажем теперь, что если выполнены условия теоремы, то функция представленная интегралом (1.3.8), будет обладать вторым свойством определения оригинала. В самом деле, при по лемме Жордана

следовательно, прямую интегрирования в формуле (1.3.8) можно заменить контуром который был определен выше. Тогда при по теореме Коши получим

так как подынтегральная функция аналитична внутри Значит, свойство 2) для выполняется. Покажем, кроме того, что для функции выполняется условие вида (1.1.3) при Действительно, из (1.3.8) следует

так что неравенство (1.1.3) выполняется.

Теперь вернемся к интегралу (1.3.13) и покажем, что он абсолютно сходится. В самом деле, пусть тогда в силу (1.3.14) и того, что