Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 1.3. Представление функций интегралом ЛапласаПриведем условия, достаточные для того, чтобы заданная функция комплексной переменной Но прежде напомним без доказательства некоторые факты из теории функций комплексного переменного, необходимые нам в дальнейшем. Лемма Жордана. Если на некоторой последовательности дуг окружностей
функция
Если те же условия выполнены на последовательности дуг окружностей
то для любого отрицательного
Теорема 5 (теорема Коши). Если функция
Теорема 6 (теорема о вычетах). Пусть однозначная функция
где Вычет функции
Для полюсов первого порядка формула (1.3.4) упрощается:
Если при этом в окрестности точки а функция
причем
Теперь вернемся к доказательству теоремы о представимости функции Теорема 7. Если функция
абсолютно сходится, то
т. е. может быть представлена сходящимся интегралом Лапласа
для Доказательство. Возьмем некоторое число
Рассмотрим внутренний интеграл. В нем
Оценим последний интеграл:
В силу условий теоремы интеграл (1.3.7) сходится абсолютно, поэтому интеграл в левой части неравенства (1.3.10) сходится равномерно относительно интегрирования:
причем последнее равенство верно, так как внутренний интеграл сходится в силу того, что Рассмотрим дугу
и этот интеграл стремится к нулю при
Знак минус мы опустили, так как поменяли направление движения по прямой. Интеграл в правой части формулы (1.3.12) вычислим, применяя теорему о вычетах. Функция
А так как Покажем теперь, что если выполнены условия теоремы, то функция
следовательно, прямую интегрирования в формуле (1.3.8) можно заменить контуром
так как подынтегральная функция аналитична внутри
так что неравенство (1.1.3) выполняется. Теперь вернемся к интегралу (1.3.13) и покажем, что он абсолютно сходится. В самом деле, пусть
|
1 |
Оглавление
|