§ 2.3. Разложение оригинала в обобщенные степенные ряды

Теорема 3 может быть распространена на обобщенные степенные ряды (см. [2]). Здесь мы ограничимся наиболее простым случаем.

Теорема 4. Пусть при (с — некоторое положительное число), и не имеет в конечной -плоскости никаких особенностей, кроме начала координат которое является точкой разветвления степенного типа.

Тогда, если разложение в обобщенный степенной ряд имеет вид

где положительное число, то оригиналом функции будет ряд

в котором вычеркнуты все члены с целыми неотрицательными а

Доказательство. Рассмотрим замкнутый контур составленный из отрезка дуги окружности дуги той же окружности, определяемой неравенствами двубережного разреза вдоль отрезка действительной оси — и окружности

Так как функция аналитична внутри контура то интеграл от этой функции вдоль контура равен нулю и, следовательно, интеграл вдоль отрезка можно заменить интегралом по остальной части контура. Кроме того, по лемме Жордана интеграл от вдоль при будет стремиться к нулю при поэтому формулу обращения можно записать в виде

где — контур, составленный из двубережного разреза и окружности без точки

В формулу (2.3.3) подставим выражение (2.3.1) для проинтегрируем почленно и получим

Введем новую переменную интегрирования, положив так как то вид контура интегрирования не изменится и мы получим

Как известно из теории функций комплексного переменного, интегральное представление функции имеет вид

где С — контур вида причем в точках эта функция обращается в нуль.

Поэтому формулу (2.3.4) можно записать в виде

где нужно вычеркнуть члены с целыми неотрицательными а Теорема доказана.