Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ОБРАЩЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСАГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ§ 1.1. Основные понятия теории преобразования ЛапласаВ течение нескольких последних десятилетий в математике, механике и технике для решения многих задач стали особенно часто и успешно применяться операционные методы на основе преобразования Лапласа. Эти методы нашли широкое приложение в теории теплопроводности, в электро- и радиотехнике, при исследовании нестационарных явлений в электрических цепях, в задачах динамики систем автоматического регулирования, в теории линейных дифференциальных, интегральных и разностных уравнений и во многих других задачах. Операционный метод решения задач можно подразделить на 4 этапа: 1) от искомой функции-оригинала 2) над 3) полученное уравнение для изображений решают относительно 4) от найденного изображения Во многих случаях самым трудным является 4-й этап — нахождение оригинала большие таблицы соответствий между оригиналами и изображениями, при помощи которых по данному изображению можно определить оригинал. Но эти таблицы охватывают далеко не все встречающиеся на практике случаи, притом часто значение оригинала выражается через очень сложные функции, которые трудно вычисляемы и не всегда табулированы. Тогда точное нахождение оригинала или невозможно, или нецелесообразно. В связи с этим возникает необходимость в построении приближенных методов обращения преобразования Лапласа, позволяющих вычислять оригинал в широком классе случаев. Этим методам и посвящена первая часть предлагаемой книги. Теперь напомним некоторые хорошо известные факты из теории преобразования Лапласа. Пусть на полуоси Введем комплексный параметр
при этом под значением несобственного интеграла по полуоси
Говорят, что преобразование Лапласа применимо к функции Можно проверить, что если преобразование (1.1.1) применимо к функцию
Для доказательства сходимости интеграла (1.1.1) воспользуемся признаком Больцано — Коши. Возьмем три произвольных положительных числа
Последний член приведенной цепочки соотношений не зависит от Более того, пусть сходимости его к интегралу (1.1.1) следует, что Рассмотрим теперь множество
Значение величины у выясняется следующими фактами. 1. Когда у имеет конечное значение, то можно сказать, что преобразование Лапласа (1.1.1) применимо к 2. Когда 3. Когда Число у может быть названо границей показателя сходимости, и прямая В связи с изложенным обычно уточняют понятие о функции-оригинале. Функция 1) 2) при 3) преобразование Лапласа применимо к Верна Теорема 1. Каждому оригиналу Функцию Нахождение значения у в некоторых случаях затруднительно. Можно указать простой признак, позволяющий во многих случаях оценить у сверху. Теорема 2. Если существуют два числа
то Доказательство. Пусть
Таким образом, при всяком действительном значении Условие (1.1.3) выполняется для широкого класса функций, в частности, оно выполняется для большинства функций, встречающихся в приложениях; поэтому оригиналы Существуют числа
Обратим еще внимание на изменение изображения Теорема 3.. Если интеграл (1.1.1) сходится абсолютно при значении Доказательство. Пусть значение которого определим ниже, и разложим интеграл (1.1.1) на два слагаемых:
Оценим сначала второй из интегралов:
Если дано произвольное положительное число Поэтому достаточно убедиться в том, что Функцию
Для интеграла
Интеграл
С целью оценить
Тогда
Если
Наконец, если воспользоваться полученной выше оценкой
а так как
|
1 |
Оглавление
|