ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ОБРАЩЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ

§ 1.1. Основные понятия теории преобразования Лапласа

В течение нескольких последних десятилетий в математике, механике и технике для решения многих задач стали особенно часто и успешно применяться операционные методы на основе преобразования Лапласа. Эти методы нашли широкое приложение в теории теплопроводности, в электро- и радиотехнике, при исследовании нестационарных явлений в электрических цепях, в задачах динамики систем автоматического регулирования, в теории линейных дифференциальных, интегральных и разностных уравнений и во многих других задачах.

Операционный метод решения задач можно подразделить на 4 этапа:

1) от искомой функции-оригинала переходят к функции-изображению

2) над производят операции, соответствующие операциям над после чего получают уравнение относительно которое часто бывает значительно проще уравнения для оригиналов, например, обыкновенное дифференциальное уравнение заменяется алгебраическим, уравнение в частных производных — обыкновенным дифференциальным и т. д.;

3) полученное уравнение для изображений решают относительно

4) от найденного изображения переходят к оригиналу который и является искомой функцией.

Во многих случаях самым трудным является 4-й этап — нахождение оригинала по изображению т. е. задача обращения преобразования Лапласа. Имеются

большие таблицы соответствий между оригиналами и изображениями, при помощи которых по данному изображению можно определить оригинал. Но эти таблицы охватывают далеко не все встречающиеся на практике случаи, притом часто значение оригинала выражается через очень сложные функции, которые трудно вычисляемы и не всегда табулированы. Тогда точное нахождение оригинала или невозможно, или нецелесообразно. В связи с этим возникает необходимость в построении приближенных методов обращения преобразования Лапласа, позволяющих вычислять оригинал в широком классе случаев. Этим методам и посвящена первая часть предлагаемой книги.

Теперь напомним некоторые хорошо известные факты из теории преобразования Лапласа.

Пусть на полуоси дана функция интегрируемая со своим абсолютным значением на всяком конечном отрезке

Введем комплексный параметр и определим преобразование Лапласа функции равенством

при этом под значением несобственного интеграла по полуоси здесь понимают предел, к которому стремится интеграл по конечному отрезку когда , так что

Говорят, что преобразование Лапласа применимо к функции при значении параметра если для этого значения р сходится интеграл (1.1.1).

Можно проверить, что если преобразование (1.1.1) применимо к при то оно применимо к при всяком значении для которого В самом деле, рассмотрим

функцию Если интеграл (1.1.1) сходится при то имеет конечный предел и является, следовательно, ограниченной на полуоси

Для доказательства сходимости интеграла (1.1.1) воспользуемся признаком Больцано — Коши. Возьмем три произвольных положительных числа с и будем считать В приведенных ниже вычислениях мы воспользовались интегрированием по частям:

Последний член приведенной цепочки соотношений не зависит от и для всякого фиксированного при увеличении а станет меньше любого наперед заданного положительного числа. Поэтому для интеграла, стоящего под знаком предела в (1.1.2), признак Больцано — Коши выполняется и интеграл (1.1.1) сходится.

Более того, пусть изменяется в ограниченной замкнутой области лежащей внутри полуплоскости Для существуют, очевидно, такие числа с и что будут выполняться неравенства Из полученных неравенств следует, что признак Больцано — Коши будет выполняться равномерно относительно параметра принадлежащего Так как интеграл есть, очевидно, целая аналитическая функция то из равномерной в D

сходимости его к интегралу (1.1.1) следует, что является аналитической функцией, регулярной в а так как D есть любая внутренняя область полуплоскости то функция регулярна всюду в этой полуплоскости.

Рассмотрим теперь множество всех действительных значений параметра при которых преобразование Лапласа (1.1.1) применимо к функции и обозначим у нижнюю грань (точную нижнюю границу значений о) этого множества:

Значение величины у выясняется следующими фактами.

1. Когда у имеет конечное значение, то можно сказать, что преобразование Лапласа (1.1.1) применимо к всюду в открытой полуплоскости при этом будет регулярной функцией по меньшей мере в этой полуплоскости и не будет применимо к ни для одного значения из полуплоскости

2. Когда преобразование Лапласа (1.1.1) применимо к при всяком значении и будет функцией, регулярной на всей комплексной плоскости

3. Когда преобразование Лапласа (1.1.1) не применимо к ни при каком значении

Число у может быть названо границей показателя сходимости, и прямая — границей области сходимости преобразования Лапласа.

В связи с изложенным обычно уточняют понятие о функции-оригинале. Функция называется функцией-оригиналом, если она обладает следующими свойствами:

1) определена на оси и интегрируема с абсолютным значением на каждом конечном отрезке;

2) при функция обращается в нуль;

3) преобразование Лапласа применимо к хотя бы при одном значении

Верна

Теорема 1. Каждому оригиналу соответствует такое число что преобразование (1.1.1) применимо к для всякого где при этом будет функцией, регулярной в полуплоскости Преобразование (1.1.1) не применимо к ни при каком для которого

Функцию называют функцией-изображением по Лапласу функции

Нахождение значения у в некоторых случаях затруднительно. Можно указать простой признак, позволяющий во многих случаях оценить у сверху.

Теорема 2. Если существуют два числа такие, что при всяких выполняется неравенство

то

Доказательство. Пусть

Таким образом, при всяком действительном значении большем а, интеграл (1.1.1) будет абсолютно сходящимся, и так как у есть нижняя грань таких значений то должно быть что и требовалось.

Условие (1.1.3) выполняется для широкого класса функций, в частности, оно выполняется для большинства функций, встречающихся в приложениях; поэтому оригиналы часто определяют несколько иначе, чем указано выше, а именно сохраняют два первых свойства определения оригинала, третье же свойство заменяют следующим:

Существуют числа такие, что выполняется неравенство

Обратим еще внимание на изменение изображения при удалении точки в бесконечность. Достаточной для дальнейшего изложения является

Теорема 3.. Если интеграл (1.1.1) сходится абсолютно при значении то стремится к нулю при удалении точки в бесконечность по любому закону, лишь бы оставалась в полуплоскости

Доказательство. Пусть По предположению интеграл (1.1.1) для абсолютно сходится, поэтому он будет сходиться и для взятого значения Возьмем положительное число А,

значение которого определим ниже, и разложим интеграл (1.1.1) на два слагаемых:

Оценим сначала второй из интегралов:

Если дано произвольное положительное число число А можно выбрать так, чтобы последний член неравенств был меньше Тогда будет при всяком значении для которого

Поэтому достаточно убедиться в том, что стремится к нулю при

Функцию считаем абсолютно интегрируемой на всяком конечном отрезке, в частности на и поэтому существует такая функция определенная и непрерывно дифференцируемая на для которой выполняется неравенство

Для интеграла получим

Интеграл может быть оценен следующим путем:

С целью оценить выполним предварительно интегрирование по частям:

Тогда

Если

Наконец, если воспользоваться полученной выше оценкой можно сказать, что при для будет верно неравенство

а так как есть произвольная положительная величина, отсюда следует, что