Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ОБРАЩЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСАГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ§ 1.1. Основные понятия теории преобразования ЛапласаВ течение нескольких последних десятилетий в математике, механике и технике для решения многих задач стали особенно часто и успешно применяться операционные методы на основе преобразования Лапласа. Эти методы нашли широкое приложение в теории теплопроводности, в электро- и радиотехнике, при исследовании нестационарных явлений в электрических цепях, в задачах динамики систем автоматического регулирования, в теории линейных дифференциальных, интегральных и разностных уравнений и во многих других задачах. Операционный метод решения задач можно подразделить на 4 этапа: 1) от искомой функции-оригинала 2) над 3) полученное уравнение для изображений решают относительно 4) от найденного изображения Во многих случаях самым трудным является 4-й этап — нахождение оригинала большие таблицы соответствий между оригиналами и изображениями, при помощи которых по данному изображению можно определить оригинал. Но эти таблицы охватывают далеко не все встречающиеся на практике случаи, притом часто значение оригинала выражается через очень сложные функции, которые трудно вычисляемы и не всегда табулированы. Тогда точное нахождение оригинала или невозможно, или нецелесообразно. В связи с этим возникает необходимость в построении приближенных методов обращения преобразования Лапласа, позволяющих вычислять оригинал в широком классе случаев. Этим методам и посвящена первая часть предлагаемой книги. Теперь напомним некоторые хорошо известные факты из теории преобразования Лапласа. Пусть на полуоси Введем комплексный параметр
при этом под значением несобственного интеграла по полуоси
Говорят, что преобразование Лапласа применимо к функции Можно проверить, что если преобразование (1.1.1) применимо к функцию
Для доказательства сходимости интеграла (1.1.1) воспользуемся признаком Больцано — Коши. Возьмем три произвольных положительных числа
Последний член приведенной цепочки соотношений не зависит от Более того, пусть сходимости его к интегралу (1.1.1) следует, что Рассмотрим теперь множество
Значение величины у выясняется следующими фактами. 1. Когда у имеет конечное значение, то можно сказать, что преобразование Лапласа (1.1.1) применимо к 2. Когда 3. Когда Число у может быть названо границей показателя сходимости, и прямая В связи с изложенным обычно уточняют понятие о функции-оригинале. Функция 1) 2) при 3) преобразование Лапласа применимо к Верна Теорема 1. Каждому оригиналу Функцию Нахождение значения у в некоторых случаях затруднительно. Можно указать простой признак, позволяющий во многих случаях оценить у сверху. Теорема 2. Если существуют два числа
то Доказательство. Пусть
Таким образом, при всяком действительном значении Условие (1.1.3) выполняется для широкого класса функций, в частности, оно выполняется для большинства функций, встречающихся в приложениях; поэтому оригиналы Существуют числа
Обратим еще внимание на изменение изображения Теорема 3.. Если интеграл (1.1.1) сходится абсолютно при значении Доказательство. Пусть значение которого определим ниже, и разложим интеграл (1.1.1) на два слагаемых:
Оценим сначала второй из интегралов:
Если дано произвольное положительное число Поэтому достаточно убедиться в том, что Функцию
Для интеграла
Интеграл
С целью оценить
Тогда
Если
Наконец, если воспользоваться полученной выше оценкой
а так как
|
1 |
Оглавление
|