§ 5.2. Ортогональные многочлены, связанные с квадратурной формулой наивысшей степени точности
5.2.1. Явное выражение многочленов ...
Для получения явного выражения рассмотрим следующий многочлен степени
который мы записали в виде, аналогичном формуле Родрига для многочленов Лежандра.
Покажем, что для этого многочлена выполняется условие ортогональности
что равносильно условию (5.1.7).
Для доказательства этого в интеграле (5.2.2) заменим
его выражением (5.2.1) и выполним интегрирование по частям:
Легко показать, что первый член полученного выражения равен нулю, так как каждое его слагаемое, полученное после дифференцирования произведения
будет иметь вид
и ввиду того, что функция
остается ограниченной на линии интегрирования, будет стремиться к нулю при удалении точки
в бесконечность вдоль прямой интегрирования.
Выполнив интегрирование по частям
раз, для интеграла (5.2.2) получим следующее выражение:
А так как
то полученное выражение тоже будет равно нулю. Таким образом, многочлен
заданный равенством (5.2.1), удовлетворяет условию ортогональности (5.1.7), а ввиду единственности многочлена, удовлетворяющего этому условию, можно заключить, что многочлен
будет отличаться от
только постоянным множителем, равным старшему коэффициенту