9.3.3. Случай равноотстоящих узлов.

За узлы интерполирования примем равноотстоящие точки

В этом случае

коэффициенты определяются из равенства

В равномерном случае

При составлении числовых таблиц для всегда можно считать так как всякое другое значение к приводится к единице линейным преобразованием независимой переменной

Правило вычислений (9.3.16) в случае равноотстоящих узлов принимает вид

Проблема сходимости вычислительного процесса, когда при иначе говоря, проблема возможности сколь угодно точного вычисления по правилу (9.3.23) здесь является весьма своеобразной и требует пояснений. В предыдущем пункте отмечалось, что в основе вопроса сходимости к нулю лежит сходимость интерполирования функции рациональной функцией (см. (9.3.4)) и для равномерного стремления к нулю достаточно, чтобы почти везде на ограниченно сходилась к

Чтобы сделать изложение наглядным, вернемся к переменной z, положив Замкнутая полуось перейдет в замкнутый отрезок Функция которую мы предполагали непрерывной на полуоси , преобразуется в некоторую функцию

непрерывную на единичном отрезке в некоторый алгебраический многочлен степени интерполирующий по значениям в узлах

При увеличении старые узлы сохраняются и к ним добавляются еще новые. Если рассмотреть все множество узлов интерполирования то они образуют монотонную убывающую последовательность, сходящуюся к нулю.

Проблему сходимости интерполирования необходимо рассматривать только в таких множествах функций, когда каждая функция вполне определяется значениями, которые она принимает на счетном множестве всех узлов. Если это условие не выполняется и если существует несколько функций, которые принимают одинаковые значения во всех узлах интерполирования и, следовательно, обладают одинаковыми интерполирующими их многочленами, то вопрос о сходимости интерполирования не имеет обычного смысла.

Когда рассматривают вопрос о сходимости интерполирования для множества всех функций, непрерывных на отрезке или для множества функций, имеющих непрерывные производные до некоторого фиксированного порядка то принимают во внимание, что каждая такая функция определяется своими значениями на счетном множестве точек, всюду плотном на В соответствии с этим в исследованиях сходимости интерполирования таких функций всегда предполагается, что узлы интерполирования лежат на также всюду плотно.

В рассматриваемой нами задаче таблица узлов интерполирования имеет вид

Строки ее — отрезки последовательности узлов сходящейся к единственной точке сгущения Простейшим и естественным множеством функций, которые определяются значениями на такой

последовательности, является множество аналитических функций, для которых все узлы интерполирования и предельная точка их лежат внутри области регулярности. На таком множестве функций мы остановим свое внимание и будем считать, что функция регулярна в области комплексной плоскости содержащей внутри себя отрезок Чем шире будет эта область и чем дальше, следовательно, от [0, 1] будут лежать особые точки тем более плавным будет поведение на отрезке [0, 1] и тем более вероятной будет сходимость интерполирования к на [0, 1]. Поэтому естественно поставить вопрос о нахождении наименьшей области, регулярность в которой обеспечивала бы такую сходимость. В теории интерполирования доказывается, что наименьшей такой областью является замкнутый круг единичного радиуса с центром в начале координат: при этом сходимость в круге и, в частности, на его радиусе будет равномерной. Мы не станем приводить доказательство этого результата и ограничимся только пояснением наглядной стороны существа вопроса, что можно сделать сравнительно просто.

Вопрос о сходимости определяется поведением интерполирующего многочлена при больших значениях номера Но если велико, то подавляющее число узлов будет близко к предельной точке и интерполирование будет близким к интерполированию с единственным узлом имеющим кратность Последнее же дается отрезком ряда Тейлора

Если множество функций характеризовать только областью регулярности и не делать никаких специальных предположений о поведении функции в этой области, то сходимость на замкнутом отрезке [0, 1] можно, наверное, гарантировать только в том случае, когда регулярна в круге

Приведенные соображения, разумеется, нельзя считать доказательством нужного утверждения, но они, по мнению авторов, достаточно просто и наглядно подтверждают если не его справедливость, то его вероятность.

Теперь возвратимся к старой переменной

Функция перейдет в функцию регулярную в некоторой области, содержащей внутри себя замкнутую полуось в частности бесконечно удаленную точку Единичный круг преобразуется в область ртрту или являющуюся замкнутой внешностью круга радиуса с центром в точке —1.

Изложенное выше позволяет высказать следующее утверждение.

Когда функция является аналитической, регулярной в области то интерполяционный процесс для нее по равноотстоящим узлам при помощи многочлена степени от (см. (9.3.4)) сходится равномерно в указанной области.

Это дает возможность сказать, что имеет место

Теорема 2. Если функция регулярна в области комплексной плоскости х, то вычислительный процесс, получающийся из равенства (9.3.23) при отбрасывании там остаточного члена сходится при равномерно относительно и на оси —