ГЛАВА 2. НЕКОТОРЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

§ 2.1. Нахождение оригинала с помощью формулы обращения

В гл. 1 было показано, что если является оригиналом, его изображением по Лапласу, то для вычисления оригинала по изображению можно пользоваться комплексным интегралом

где с есть абсцисса в полуплоскости абсолютной сходимости интеграла Лапласа. Правда, для непосредственного вычисления функции использовать формулу (2.1.1) затруднительно, так как она требует знания функции для комплексных значений и интеграл является несобственным, с колеблющимся ядром. Но поскольку (2.1.1) является интегралом от аналитической функции, взятым по контуру в комплексной плоскости, его можцо преобразовать, применив для этого методы, известные из теории функций комплексного переменного, например изменение пути интегрирования, вычисление вычетов и т. п. Такого рода преобразования в некоторых случаях позволяют получить практически удобное выражение для оригинала, из которого можно получить важные свойства функции, определяемой комплексным интегралом.

Методы вычисления оригинала при помощи таких преобразований комплексного интеграла (2.1.1) рассмотрим в следующих пунктах настоящего параграфа.

2.1.1. Разложение оригинала в ряды по показательным функциям.

Для одного важного класса изображений можно получить разложение оригинала в ряд, члены

которого соответствуют особым точкам изображений. А именно, справедлива следующая

Теорема 1. Пусть 1) функция мероморфна; 2) функция аналитична в некоторой полуплоскости ; 3) существует система окружностей

на которой стремится к нулю равномерно относительно для любого а абсолютно сходится интеграл

Тогда оригиналом служит функция

где вычеты вычисляются по всем полюсам функции и суммирование выполняется по группам полюсов, лежащих в кольцах между соседними окружностями

Доказательство. В условиях теоремы 1 справедлива теорема 7 гл. 1, согласно которой является изображением функции

Обозначим через часть окружности расположенную левее прямой через точки пересечения этой прямой с окружностью и через замкнутый контур, составленный из отрезка и дуги и проходимый против часовой стрелки. Так как по лемме Жордана при

то интеграл в формуле (2.1.3) можно заменить следующим интегралом:

Теперь, применяя теорему Коши о вычетах, получим

где вычеты берутся во всех особых точках функции лежащих внутри Полученное равенство доказывает теорему.

2.1.2. Частные случаи разложения оригинала в ряды по показательным функциям.

Рассмотрим случай, когда функция является дробно-рациональной функцией. Тогда имеет место

Теорема 2. Если функция дробно-рациональна, причем степень многочлена меньше степени многочлена то оригиналом ее служит функция

где полюсы их кратности, и сумма берется по всем полюсам.

Доказательство. Прежде всего заметим, что функция будет изображением. Это следует из теоремы о разложении дробно-рациональной функции на простейшие дроби, линейности преобразования Лапласа и справедливости формулы

(где справа стоит изображение, слева — его оригинал). Следовательно,

где полюсы функции

Так же, как и в предыдущей теореме, интеграл (2.1.6) можно заменить интегралом (2.1.4), ибо в силу того, что при применима лемма Жордана.

Применяя к интегралу (2.1.4) теорему о вычетах и формулу (1.3.4) для вычисления вычетов в полюсах, придем к формуле (2.1.5).

В частности, если все полюсы простые, то формула (2.1.5) упрощается:

(мы воспользовались формулой (1.3.6) для вычисления вычетов в простых полюсах).

Замечание. Если многочлен имеет действительные коэффициенты, то каждому его комплексному корню отвечает комплексно сопряженный корень Если и многочлен имеет действительные коэффициенты, то тогда

и, следовательно, сумма выражений вычисленная для комплексно сопряженных корней будет равна Значит, формулу (2.1.7) можно в этом случае представить в виде

где в первом слагаемом суммирование ведется по всем действительным корням а во втором слагаемом по всем комплексным корням с положительными мнимыми частями.