Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА 2. НЕКОТОРЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА§ 2.1. Нахождение оригинала с помощью формулы обращенияВ гл. 1 было показано, что если
где с есть абсцисса в полуплоскости абсолютной сходимости интеграла Лапласа. Правда, для непосредственного вычисления функции Методы вычисления оригинала при помощи таких преобразований комплексного интеграла (2.1.1) рассмотрим в следующих пунктах настоящего параграфа. 2.1.1. Разложение оригинала в ряды по показательным функциям.Для одного важного класса изображений которого соответствуют особым точкам изображений. А именно, справедлива следующая Теорема 1. Пусть 1) функция
на которой Тогда оригиналом
где вычеты вычисляются по всем полюсам функции Доказательство. В условиях теоремы 1 справедлива теорема 7 гл. 1, согласно которой
Обозначим через
то интеграл в формуле (2.1.3) можно заменить следующим интегралом:
Теперь, применяя теорему Коши о вычетах, получим
где вычеты берутся во всех особых точках функции 2.1.2. Частные случаи разложения оригинала в ряды по показательным функциям.Рассмотрим случай, когда функция Теорема 2. Если функция
где Доказательство. Прежде всего заметим, что функция
(где справа стоит изображение, слева — его оригинал). Следовательно,
где Так же, как и в предыдущей теореме, интеграл (2.1.6) можно заменить интегралом (2.1.4), ибо в силу того, что Применяя к интегралу (2.1.4) теорему о вычетах и формулу (1.3.4) для вычисления вычетов в полюсах, придем к формуле (2.1.5). В частности, если все полюсы простые, то формула (2.1.5) упрощается:
(мы воспользовались формулой (1.3.6) для вычисления вычетов в простых полюсах). Замечание. Если многочлен
и, следовательно, сумма выражений
где в первом слагаемом суммирование ведется по всем действительным корням
|
1 |
Оглавление
|