где а есть произвольное число, большее нуля. Тогда
Функцию
разложим в ряд Фурье по синусам нечетных кратных дуг
коэффициенты
которого определяются обычным способом:
Чтобы выразить значения коэффициентов
через значения изображения
поступим следующим образом. В интеграле (3.2.4) положим
тогда получим
Ядро этого интеграла может быть представлено в виде линейной комбинации функций
В интеграл (3.2.7) подставим выражения (3.2.5) и (3.2.8). Так как
то при фиксированном
останутся только члены, для которых
т. е.
или
или
Подставив в это равенство последовательно
получим линейную систему уравнений с треугольной матрицей для определения коэффициентов
Выбор значения о обусловливается величиной промежутка, для которого необходимо вычислить значение оригинала
а следует выбирать малым для больших
наоборот, большим для малых
Замечание. Равенством (3.2.3) функция
определена на отрезке
Тригонометрический ряд, стоящий справа в (3.2.5), представляет функции, обладающие двумя особенностями: эти функции являются нечетными, или, иначе говоря, имеющими в плоскости с декартовыми осями координат
график, симметричный относительно начала координат, и такими, что их график является симметричным относительно прямой
Тригонометрический ряд (3.2.5) дает продолжение функции
обладающее указанными свойствами симметрии, кроме того,
-периодическое, и является для продолженной функции рядом Фурье. К определению его сходимости применимы все известные теоремы о сходимости ряда Фурье.