§ 3.2. Обращение преобразования Лапласа с помощью ряда Фурье по синусам

В этом параграфе мы изложим еще один способ нахождения оригинала по значениям изображения в равноотстоящих точках на действительной оси. Этот способ основан на двух допущениях, не ограничивающих, однако, его общности. Во-первых, предполагается, что изображение существует при Это всегда можно сделать, если рассматривать вместо изображения изображение при достаточно больших а. Последнее равносильно умножению оригинала на Во-вторых, предполагается, что Этого можно достичь, положив что равносильно замене изображения изображением

Интеграл Лапласа

преобразуем при помощи подстановки

где а есть произвольное число, большее нуля. Тогда

Функцию разложим в ряд Фурье по синусам нечетных кратных дуг

коэффициенты которого определяются обычным способом:

Чтобы выразить значения коэффициентов через значения изображения поступим следующим образом. В интеграле (3.2.4) положим тогда получим

Ядро этого интеграла может быть представлено в виде линейной комбинации функций

В интеграл (3.2.7) подставим выражения (3.2.5) и (3.2.8). Так как

то при фиксированном останутся только члены, для которых т. е.

или

или

Подставив в это равенство последовательно получим линейную систему уравнений с треугольной матрицей для определения коэффициентов

Выбор значения о обусловливается величиной промежутка, для которого необходимо вычислить значение оригинала а следует выбирать малым для больших наоборот, большим для малых

Замечание. Равенством (3.2.3) функция определена на отрезке Тригонометрический ряд, стоящий справа в (3.2.5), представляет функции, обладающие двумя особенностями: эти функции являются нечетными, или, иначе говоря, имеющими в плоскости с декартовыми осями координат график, симметричный относительно начала координат, и такими, что их график является симметричным относительно прямой Тригонометрический ряд (3.2.5) дает продолжение функции обладающее указанными свойствами симметрии, кроме того, -периодическое, и является для продолженной функции рядом Фурье. К определению его сходимости применимы все известные теоремы о сходимости ряда Фурье.