4.2. ВЕКТОРНЫЕ И МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Скорость V машины относительно навигационной системы представляется решением векторного дифференциального уравнения. При помощи ЦВМ можно, однако, решать скалярное дифференциальное уравнение или систему скалярных уравнений. Поэтому подлежащее решению векторное уравнение необходимо предварительно представить в проекциях на оси какой-либо системы координат и получившуюся систему скалярных уравнений решать при помощи ЦВМ.

В принципе переход от векторного уравнения к скалярным уравнениям относительно проекций векторов на оси Какой-либо системы йоординат не представляет трудности. Однако иногда бывает удобнее с самого начала оперировать не с векторным, а с матричным дифференциальным уравнением, соответствующим системе скалярных уравнений относительно упомянутых проекций. Далее рассматривается запись основных соотношений векторной алгебры в матричной форме.

Пусть вектор представляется, например, в системах матрицами-столбцами Используя матрицу перехода от системы к системе можно записать

Продифференцируем это матричное уравнение по времени:

Для матриц перехода известно тождество

где I — единичная матрица [3].

Вводя перед вторым членом правой части уравнения (4.4) множитель (4.5), можно уравнение (1.4) преобразовать к виду

или по введении обозначения

где элементы матрицы имеют размерность угловой скорости, — к виду

Преобразуя аналогичным образом соотношение

придем к уравнению

Вследствие одинаковости левых частей уравнений (4.8) и (4.9) можно записать

Система инерциальная. Поэтому матрица-столбец является представлением вектора абсолютной (инерциальной) скорости в системе Принимая во внимание, что матрицы перехода от систем к системе на основании уравнения (4.10) приходим к выводу, что матрицы-столбцы

являются представлением этого же вектора абсолютной скорости соответственно в системах Таким образом, можно записать

где вектор абсолютной скорости.

Уравнения (4.12) дают матричное выражение в системах векторных уравнений

связывающих абсолютную производную с локальными производными Матрицы-столбцы представляют абсолютную и локальные производные, а матричные произведения члены в правых частях векторные произведениях, фигурирующие в уравнениях (4.13).

В уравнениях (4.13) — векторы угловой скорости систем относительно системы Пользуясь известной формулой, можно векторные произведения представить в виде разложений по

Таким образом, эти разложения позволяют найти входящие в (4.12) матричные произведения. Например,

Можно видеть, что при непосредственном перемножении матриц выражение (4.16) получается только тогда, когда

Аналогичный вид (индекс заменяется индексом имеет и матрица .

Кососимметричная матрица вида (4.17) называется матрицей вращения. Умножая эту матрицу справа на матрицу-столбец можно сразу получить представление векторного произведения В системе

Если уравнение (4.7) умножить слева на матрицу то при учете тождества (4.5) приходим к уравнению

называемому уравнением Пуассона.

Уравнение Пуассона позволяет по результатам измерения составляющих угловой скорости системы 171 относительно системы определять направляющие косинусы осей системы в системе

Обратимся теперь к представлению в матричной форме абсолютного ускорения . Дифференцируя уравнение (4.8) и учитывая при последующих преобразованиях соотношение (4.18), получим

Поскольку представление абсолютного ускорения в системе матрица перехода от системы к системе приходим к выводу, что выражение в круглых скобках является представлением абсолютного ускорения в системе Но абсолютное ускорение можно выразить через локальные производные относительно системы и угловую скорость сото. Дифференцируя в системе уравнение (4.13) и выражая производные векторов через локальные производные, получим

Сопоставление соответственных членов уравнения (4.20) и выражения в круглых скобках (4.19), помимо уже известного

матричного представления векторного произведения, дает матричное представление вектора и двойного векторного произведения. Вектор представляется в системе как а двойное векторное произведение как матричное произведение