ГЛАВА 9. АДАПТИВНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

9.1. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ АДАПТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ

Для реализации фильтра Калмана требуется априорная информация о математической модели объекта, о статистике входных и измерительных шумов. Неточность информации об априорных данных может послужить причиной расходимости [12, 20, 31].

В этой главе будут рассмотрены адаптивные алгоритмы фильтрации.

Под адаптивными фильтрами здесь понимаются фильтры, способные вырабатывать достаточно точную оценку вектора состояния в отсутствии точной априорной информации о статистике входных и измерительных шумов.

Один из возможных путей создания адаптивных алгоритмов фильтрации заключается в использовании корреляционных свойств обновляемой последовательности с целью построения оценок ковариационных матриц входных и измерительных шумов. Классическим примером таких алгоритмов является адаптивный алгоритм, предложенный Мехра [13].

Этот алгоритм пригоден только для стационарных объектов и стационарных входных и измерительных шумов. Перед использованием адаптивного алгоритма осуществляется оценивание вектора состояния на основе классического алгоритма Калмана, в котором неточно заданы матрицы При этом необходимо определить степень отличия используемых матриц от реальных ковариационных матриц входных и измерительных шумов Если незначительно отличаются от реальных значений фильтр Калмана фактически работает в оптимальном режиме и можно считать, что Таким образом, проверяя оптимальные свойства фильтра Калмана при выбранных можно решить вопрос о правильности первоначального выбора Такая проверка может строиться на основе статистической обработки обновляемой последовательности (см. разд. 8.4). В том случае, когда является белым шумом, фильтр при первоначально

выбранных работает фактически оптимально, и можно считать, что

Если не белый шум, то фильтр работает в субоптимальном режиме и необходимо оценивать реальные значения которые отличны от начальных матриц

Для субоптимального фильтра обновляемый процесс представляет собой небелый гауссов процесс со следующими корреляционными свойствами (разд. 8.4):

Здесь априорная ковариационная матрица ошибок оценивания субоптимального фильтра Калмана (см. разд. 8.3).

Оценки величин ковариационных матриц можно получить, используя эргодические свойства стационарной обновляемой последовательности:

При этом число должно быть достаточно большим. Перепишем уравнение (9.2) для случая

где К — субоптимальная матрица усиления фильтра при неоптимальном выборе (см. разд. 8.4); порядок исходного объекта.

Запишем систему (9.4) в матричной форме:

Здесь псевдообратная матрица по отношению к матрице В, имеющей вид

Отметим, что псевдообратная матрица

существует, поскольку матрица В представляет собой произведение

матрицы наблюдаемости и невырожденной матрицы перехода Фигурирующая в уравнении (9.5) матрица А имеет вид

Оценка матрицы измерительного шума строится на основе использования уравнения (9.1), т. е.

В разд. 8.4 было показано, что для субоптимального фильтра ковариационная матрица ошибок оценивания имеет вид

Это уравнение справедливо для любой неоптимальной матрицы усиления К.

Ограничимся в дальнейшем случаем, когда число неизвестных элементов матрицы меньше или равно

Здесь размерность вектора состояния; размерность вектора измерения. Запишем уравнение (9.7) в форме

Подставим в правую часть уравнения (9.8):

Повторяя такую же подстановку раз и перенося при этом члены, зависящие от в левую часть, получим

Умножим правую и левую части уравнения (9.9) справа на а слева на Тогда получим

Подставляя в правую часть вместо оценки этих матриц, получим

где

Путем решения системы уравнений (9.10) определим неизвестных элементов матрицы Отметим, что уравнения (9.10) не являются линейно независимыми. Поэтому в каждом конкретном случае надлежит из системы уравнений (9.10) выбрать систему из линейно независимых уравнений.

Таким образом, процедура рассматриваемого адаптивного алгоритма состоит из двух этапов. Первый этап заключается в проверке оптимальности фильтра Калмана, использующего первоначальные оценки Этот этап требует значительного машинного времени для накопления статистики обновляемого процесса, т. е. для определения по уравнению (9.3). Обычно проверка осуществляется на интервале времени в 1000 и более тактов проведения измерений [13].

Если проверка обнаруживает, что фильтр субоптимален, то второй этап работы будет состоять в наилучшей оценке Оценки строятся на основе набранной статистики о ковариационных матрицах обновляемой последовательности и определяются по уравнениям (9.6) и (9.10).

После того как оценки получены, они используются в классическом алгоритме фильтра Калмана вместо

Рассмотренная процедура получения оценок обладает следующими недостатками.

1. Процедуре оценки предшествует проверка оптимальности фильтра Калмана, которая занимает много машинного времени. При этом точность оценивания вектора состояния фильтра Калмана при первоначально выбранных может быть недостаточной.

2. Аналитическое выражение оценки из уравнения (9.10) получить невозможно. Это приводит к дополнительным трудностям реализации алгоритма на ЦВМ.

3. Адаптивный алгоритм, предложенный в работе [13], можно использовать только для стационарных систем. Объект и шумы должны быть стационарными на всем этапе оценивания, поскольку оценки вычисляются один раз и далее не корректируются. Фактически этот алгоритм не является адаптивным, так как связь с обновляющим процессом используется всего один раз для получения оценок После того как оценки получены, они используются в классическом фильтре Калмана без всякой адаптивной подстройки в зависимости от текущих значений

Таким образом, данный алгоритм мало пригоден для реализации его на БЦВМ с целью повышения точности ИНС.