8.4. ПРИМЕНЕНИЕ ОБНОВЛЯЕМОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ДЛЯ СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Пусть объект описывается уравнениями (8.4), (8.5). Будем, как и раньше, искать оптимальную оценку вектора состояния, минимизируя функционал

Согласно уравнению (8.46) ошибка оценки выхода

Последовательность ошибок оценки выхода названа в работе [25] обновляемой. Таким образом, обновляемая последовательность

Как показывает выражение (8.75), обновляемая последовательность несет обновляемую на каждом шаге информацию об измерениях кроме того, учитывает все прошлые измерения от до так как

Далее будет показано, как некоторые свойства обновляемой последовательности можно использовать для построения адаптивных фильтров. Поэтому рассмотрим более подробно эти свойства.

1. Принцип ортогональности можно переписать через обновляемую последовательность в виде

2. для всех

3. Обновляемая последовательность является белым шумом (т. е. с ковариационной матрицей

Доказательство этих свойств приведено авторами в работе [12].

Рассмотрим теперь свойства обновляемой последовательности для случая субоптимальной фильтрации.

В этом случае уже не является белым шумом, т. е.

Для простоты дальнейших выкладок считаем, что система стационарна и что к моменту времени матрицы установились.

Определим значение

Нетрудно видеть, что

Учитывая последние равенства, перепишем уравнение (8.79) в форме

Рассмотрим уравнение для априорной ошибки оценивания:

По индукции выразим правую часть уравнения (8.81) через значение для момента времени

Используя уравнения (8.82), при учете равенств

имеем

Умножая правую часть (8.82) на и применяя операцию тематического ожидания, при учете

и

Учитывая уравнения (8.83) и (8.84), запишем уравнение (8.80) в виде

Ранее было приведено уравнение

Таким образом, автокорреляционная функция процесса для случая субоптимальной фильтрации описывается уравнениями (8.85) и (8.86).

Необходимо отметить, что в том случае, когда фильтр оптима лен, т. е. когда матрица усиления фильтра описывается уравнением выражение (8.85), как и должно быть, обращается в нуль: