9.6. АДАПТИВНЫЕ РЕДУЦИРОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

В разд. 9.5. были выведены уравнения редуцированного фильтра для объекта

и измерителя

Этот фильтр дает оценку только для подвектора и описывается уравнением

где

Для вычисления оценки по формуле (9.74) необходимо знание матрицы усиления В свою очередь для получения матрицы необходимо [см. (9.78)] знание матрицы а эта последняя зависит от матриц [см. (9.75), (9.81), (9.82), (9.76), (9.77)].

Рассмотрим теперь последовательность где Определим ковариационную матрицу этой последовательности аналогично тому, как это было сделано в разд. 9.3.

Подставляя вместо выражение (9.78), а вместо матрицы ее значение и учитывая симметричность последней матрицы, получим

Перепишем уравнение (9.80) в виде

и подставим полученное выражение в уравнение (9.83):

Таким образом, для редуцированного фильтра получилось уравнение (9.84) такое же, как и для полного адаптивного фильтра.

Принимая те же допущения, что и в разд. 9.3, можно уравнение (9.84) записать или в виде

или в виде

При учете значения матрицы максимизирующего

плотность вероятности вектора эти уравнения можно переписать в виде

Как видно из уравнений (9.85) и (9.86), для определения нет необходимости знать матрицы а следовательно, и матрицы Информация о них поступает через член по текущим измерениям

Следовательно, уравнения адаптивного редуцированного фильтра можно представить в виде

где первый вариант

второй вариант

Адаптивный редуцированный фильтр, синтезируемый на основе адаптивного фильтра 1-й модификации, использует для определения три рекурсивных соотношения [уравнения (9.88) — (9.90) или (9.91) — (9.93)] вместо восьми, как это имело место в обычном редуцированном фильтре. Наряду со свойствами адаптивности это еще одно важное преимущество предложенного здесь адаптивного редуцированного фильтра.

Рассмотрим еще один новый алгоритм редуцированного адаптивного фильтра. Будем называть его адаптивным редуцированным фильтром 2-й модификации.

Фильтр 2-й модификации можно применять для частного случая, когда измеряются отдельные компоненты вектора состояния, а не их линейные комбинации. Другими словами, в этом случае строки матрицы Ни имеют только один отличный от нуля элемент. Предлагаемый здесь алгоритм производит оценку этих измеряемых компонент вектора состояния. Как будет показано далее, для большинства случаев применения в ИНС матрица наблюдения Неудов летворяет указанным ограничениям. Предложенный алгоритм производит оценивание с меньшей точностью, чем фильтр 1-й модификации. Однако преимущество этого алгоритма в том, что он состоит только из двух рекуррентных соотношений.

Обращаясь к уравнениям (9.74) — (9.82) редуцированного, фильтра, перепишем уравнение (9.78) для матрицы усиления этого же фильтра:

Теперь умножим обе части этого уравнения слева на матрицу

Учитывая, что

перепишем уравнение (9.94) в виде

Подставляя вместо значение максимизирующее плотности вероятности компонент вектора (см. разд. 9.3), окончательно получим уравнение (9.95) в виде

Уравнение, по которому редуцированный адаптивный фильтр формирует оценку, имеет вид

Умножим это уравнение слева на матрицу Н:

Уравнения (9.96) и (9.97) описывают алгоритм адаптивного редуцированного фильтра 2-й модификации, предлагаемого в этом разделе.

Уравнение (9.97) показывает, что этот фильтр оценивает лишь непосредственно измеряемые компоненты вектора т. е. компоненты

Обратимся к более детальному рассмотрению уравнения (9.96). Фигурирующая в этом уравнении матрица является особой.

Однако пренебрегая недиагональными членами, получаем возможность обращения матрицы. Данное упрощение эквивалентно пренебрежению корреляцией между компонентами

Применение фильтра с диагональной матрицей для повышения точности ИНС оправдано, так как корреляция обновляемых последовательностей в каналах х и у незначительна (см. разд. 10.4).

Считая, что матрица диагональная, получим, что матрица также диагональная. Обозначая диагональные элементы матрицы через запишем уравнение (9.96) в скалярной форме:

Здесь диагональные элементы матрицы компоненты вектора

Диагональные элементы матрицы отрицательными быть не могут, поскольку это нарушит положительную определенность матрицы [см. 9.80)]. Поэтому для случая считаем, что

Этому можно дать следующую физическую интерпретацию. Когда элементы ковариационной матрицы измерительного шума превышают измерения не учитываются при формировании оценки Это соответствует тому, что оценка более точна на основе априорных вычислений, т. е. коррекция от измерителя нецелесообразна.

Имея это в виду, получаем следующие окончательные выражения элементов матрицы

(см. скан)

Перепишем уравнение (9.97) в виде

х - измеряемые компоненты вектора состояния; — неизмеряемые компоненты вектора состояния.

Как было указано ранее, алгоритм предлагается для случая, когда строки матрицы имеют только один ненулевой элемент:

Сформируем из матрицы матрицу размером (), соответствующую измеряемым компонентам вектора состояния:

Учитывая, что матрица имеет вид (9.101), получим

Отсюда находим

Оценка полного вектора состояния

Обратимся к уравнению оценки (9.100):

Входящий в это уравнение вектор при учете выражения (9.102) можно представить в виде

Выражение (9.102) показывает, что оценка х, даваемая фильтром для неизмеряемых компонент вектора состояния, базируется только на априорной оценке и текущими измерениями не корректируется, т. е.

Таким образом, предлагаемый фильтр описывается уравнениями (9.99), (9.100), (9.103).

К достоинствам предложенного алгоритма относится большая простота реализации и малая чувствительность к отклонениям в задании априорных данных. Недостаток заключается в том, что оцениванию доступны только отдельно измеряемые компоненты вектора состояния и что оценка менее точна по сравнению с оценкой, доставляемой фильтром 1-й модификации. Это объясняется наличием у фильтра 2-й модификации зоны нечувствительности, характеризуемой неравенствами

В предлагаемых фильтрах 1-й и 2-й модификаций в качестве оценки дисперсии используется единичная выборка обновляемого процесса, т. е.

Однако такая оценка статистически мало обоснована. Поэтому для повышения точности оценивания в фильтрах 1-й и 2-й модификаций следует изменить выражение для оценки дисперсии обновляемого процесса (9.105).

С этой целью определяем значение максимизирующее плотность вероятности не одного значения а выборки Другими словами, необходимо максимизировать функционал

При этом считаем, что Поскольку белый шум, выражение (9.106) можно записать в виде

Учитывая, что гауссов процесс, имеем

(см. скан)

Продифференцируем выражение (9.107) [используя соотношения (9.34), (9.35)] по и приравняем результат нулю:

(см. скан)

Отсюда находим

или

Уравнение (9.108) можно представить в рекурсивном виде:

где

Выражение (9.109) для оценки подставляется соответственно в уравнение фильтра 1 и 2-й модификаций. В результате

оценка дисперсии обновляемого процесса базируется не на одном значении а на выборе