2. ГИРОСТАБИЛИЗИРОВАННАЯ ПЛАТФОРМА

Традиционная система инерциальной навигации основана на использовании трехосной гиростабилизированной платформы. Точность ИНС находится в прямой зависимости от точности гироплатформы, т. е. от скорости дрейфа Дрейф в свою очередь, зависит не только от точности входящих в гироплатформу гироскопов, но и от структуры цепей разгрузки гироплатформы. Здесь рассматривается синтез цепи разгрузки, обеспечивающий высокую точность гироплатформы.

СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ГИРОПЛАТФОРМЫ

Уравнения движения гироплатформы, представляющей собой систему инерционных тел, получают по большей части на основе динамических уравнений Эйлера для твердого тела с одной неподвижной точкой [14, 15]. Уравнения Эйлера записывают для каждого входящего в состав гироплатформы тела. Воздействие на это тело со стороны других составляющих гироплатформу тел учитывают пока неизвестными моментами от нормальных реакций в точках соприкосновения. В дальнейшем эти моменты из уравнения исключаются.

Такой метод составления уравнений сложных электромеханических и гироскопических систем в отечественной литературе был впервые предложен в работе [7]. Аналогичный подход при составлении уравнений гироскопа несколько раньше выдвигался К. Магнусом ].

Указанный метод составления уравнений проиллюстрируем на примере двухосной гироплатформы, предназначенной для поддержания неизменным углового положения плоскости относительно инерциального пространства в условиях качки объекта, несущего платформу.

Схема платформы, имеющей силовую гироскопическую стабилизацию по двум осям, изображена на рис.

Рассмотрим движение платформы относительно системы координат связанной с основанием (машиной), на котором установлена платформа. Чтобы определить положение платформы 4 в системе свяжем с платформой систему координат Положение системы относительно системы полностью определяется заданием углов и (3 (рис. Угол а является углом поворота наружного кольца 3 (рис. вокруг его оси относительно плоскости Охтут, а угол углом поворота платформы 4 зокруг оси относительно наружного кольца. Выбранные направления положительного отсчета для этих углов и соответствующие положительные угловые скорости (векторы а и показаны на рис. На рис. показаны также направления положительного отсчета углов а и определяющих положение гироскопов относительно платформы. Эти углы измеряются потенциометрическими устройствами 7, 9, управляющими соответственно двигателями 8 и 10.

Положение платформы и гироскопов характеризуется четырьмя переменными (координатами Для определения этих переменных необходимо составить четыре уравнения. Такими уравнениями могут служить уравнения моментов вокруг осей карданова подвеса (оси и вокруг осей вращения гироскопов относительно платформы (оси

Составим эти уравнения, основываясь на динамических уравнениях Эйлера для твердого тела с одной неподвижной точкой. Динамические уравнения Эйлера имеют вид

Рис. П.4. Схема двухосной гироплатформы

Рис. П,5. Система объекта и система платформы

— проекции кинетического момента твердого тела на оси системы координат, связанной с этим телом (подвижная система координат);

проекции абсолютной угловой скорости подвижной системы координат на оси этой же системы;

— моменты инерции твердого тела относительно тех же осей; — центробежные моменты инерции масса элементарных частиц тела);

моменты, действующие на тело относительно его осей

Как уже отмечалось, уравнения Эйлера составляем относительно для каждого тела, учитывая воздействие на это тело других входящих в платформу тел пока неизвестными моментами от нормальных реакций в точках соприкосновения.

Такой метод составления уравнений гироскопических и других механических систем является более наглядным и простым, чем, например, метод, основанный на использовании уравнений Лангранжа второго рода. Этот метод имеет и другое

Рис. П.6. Моменты, действующие на платформу со стороны гироскопов

важное преимущество, заключающееся в том, что в уравнения движения можно вводить члены, учитывающие силы трения в опорах (подшипниках), зависящие от нормальных давлений в них.

Начнем с составления уравнений для гироскопов 1, 2 (под гироскопом подразумевается система, состоящая из ротора и его кожуха). С кожухами этих гироскопов свяжем системы координат (см. рис. П.4).

Определим проекции абсолютной угловой скорости системы на оси и проекции угловой скорости системы на оси этой же системы

Если проекции абсолютной угловой скорости системы отсчета на оси этой же системы то проекции абсолютной угловой скорости платформы 4 на оси связанной с ней системы (см. рис. (принимаем векторы направленными в положительную сторону осей имеют вид

Искомые угловые скорости согласно рис. П.6 (принимаем векторы направленными в положительную сторону соответствующих осей) имеют вид

где определяются формулами

Найдем проекции кинетического момента гироскопа 1 (см. рис. П.4) на оси Поскольку для гироскопа оси являются главными осями инерции, центробежные моменты относительно этих осей равны нулю. Обозначая через моменты инерции гироскопа (кожух ротор) относительно осей и учитывая, что кинетический момент ротора направлен по оси на основании соотношений можно написать

Здесь где осевой момент инерции ротора; скорость вращения ротора относительно его кожуха.

Полагаем т. е. считаем, что ротор вместе с кожухом участвует во вращении Тогда где момент инерции кожуха относительно оси — момент инерции гироскопа относительно оси (см. рис.

Для гироскопа 2 аналогичным образом находим

Уравнения Эйлера для гироскопов 1 и 2 можно записать в следующем виде:

для гироскопа 1

для гироскопа 2

Здесь моменты, передаваемые на гироскопы 1 и 2 со стороны платформы 4 за счет нормальных реакций в подшипниках осей кожуха моменты, прикладываемые к гироскопам со стороны моментных датчиков коэффициенты, учитывающие вязкое трение в подшипниках осей кожухов гироскопов и электродинамическое торможение в моментных датчиках.

Здесь и в дальнейшем момент сил сухого трения в подшипниках предполагается равным нулю. В действительности же для шарикового подшипника момент трения равен где постоянный коэффициент, общее нормальное давление на подшипник. При желании момент всегда можно учесть в уравнениях движения. Для этого, например, в правую часть уравнения надо было бы ввести член 1

где расстояние между подшипниками оси моменты, определяемые выражениями

Составим теперь уравнения Эйлера для платформы 4. Если масса платформы расположена относительно начала координат О симметрично, то ее центробежные моменты инерции относительно осей будут равны нулю, так что уравнения можно записать в виде

Здесь момент инерции платформы без гироскопов относительно оси момент инерции относительно оси момент инерции платформы без гироскопов масса гироскопа; — расстояние центра тяжести гироскопа до оси платформы момент инерции вокруг оси момент инерции платформы без гироскопов относительно оси проекции абсолютной угловой скорости платформы, определяемые формулами (11.38): моменты, действующие вокруг осей платформы

Определим моменты, действующие на платформу. Со стороны гироскопов 1 и 2 на платформу 4 передаются следующие моменты [см. уравнения , (П.44)]:

Со стороны наружного кольца 3 на платформу 4 действуют:

т. е. момент развиваемый вокруг оси двигателем стабилизации и внешний возмущающий момент за вычетом той их части, которая идет на создание ускорения наружного кольца момент инерции наружного кольца вокруг оси и на преодоление момента сил вязкого трения

2) , т. е. момент развиваемый двигателем стабилизации 10 вокруг оси и внешний возмущающий момент за вычетом некоторой их части, затрачиваемой на преодоление момента сил вязкого трения

— момент вокруг оси перпендикулярной плоскости Охту наружного кольца. Этот момент возникает за счет нормальных реакций в подшипниках оси наружного кольца и на платформу 4 передается нормальными давлениями в подшипниках оси ось вращения платформы относительно наружного кольца).

Принимая во внимание рис. для составляющих результирующего момента, действующего на платформы, получим следующие выражения:

Подставив эти выражения в уравнения Эйлера и исключив затем из первого и третьего уравнений момент получим два первых уравнения приводимой далее системы

Уравнения этой системы представляют собой уравнения моментов относительно осей гироскопов. Последние два уравнения —

Рис. Моменты, действующие на платформу со стороны наружного кольца

это уравнения двигателей стабилизации

Двигатель стабилизации 8 поддерживает перпендикулярность между осью гироскопа и осью платформы а двигатель 10 — перпендикулярность между осью гироскопа и осью платформы . В соответствии с этим двигатель 8 включен таким образом, что при возникновении положительного угла он развивает положительный момент т. е. момент, направленный в положительном направлении оси (положительный момент вызывает прецессию гироскопа 1 в направлении отрицательного отсчета угла а, что приводит к уменьшению имеющегося положительного угла а).

При положительном двигатель стабилизации 10 развивает отрицательный момент т. е. момент в отрицательном направлении оси что вызывает прецессию гироскопа 2 в сторону уменьшения Знак минус в уравнении означает, что положительный угол создает отрицательный момент

Система дифференциальных уравнений представляет собой общие уравнения движения двухосной гиростабилизированной платформы. Эти уравнения можно записать в развернутом виде, если вместо подставить выражения а вместо выражения

Общие уравнения движения гиростабилизированной платформы нелинейные, так как переменные входят под знаки тригонометрических функций, а переменные со, перемножаются между собой. Для исследования системы методами линейной теории автоматического регулирования необходимо эти уравнения линеаризировать. Линеаризацию будем производить для окрестности равновесного состояния, характеризуемого следующими значениями переменных:

Здесь предполагается, что в равновесном состоянии неподвижны как платформа, так и основание, несущее платформу. Предположим также, что в случае устойчивости платформы сводятся к нулю не только малые отклонения переменных характеризующих платформу, но и малые отклонения угловых скоростей основания от их равновесных значений Такое положение встречается в тех случаях, когда гиростабилизированная платформа установлена на объекте, являющемся звеном устойчивой замкнутой системы стабилизации.

Производя варьирование нелинейных уравнений получим линейные уравнения относительно малых отклонений (вариаций) переменных от их значений в равновесном режиме Если в этих уравнениях вариации

относительных угловых скоростей заменить вариациями абсолютных угловых скоростей согласно выражениям

вытекающим соответственно из первого и второго уравнений после их варьирования, а вариацию абсолютной угловой скорости по которой стабилизация платформы не производится, выражением

также вытекающим из первого и третьего уравнений то после умножения первого уравнения на линеаризированные уравнения можно представить в следующем виде:

(см. скан)

где

Характерной особенностью уравнений является то, что в качестве переменных в них фигурируют абсолютные угловые скорости платформы вокруг связанных с ней осей и углы отклонения гироскопов относительно платформы. Угловые скорости основания и моменты вокруг осей карданова подвеса играют роль внешних возмущений.

СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ОДНООСНОГО ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА

Пусть в равновесном состоянии (угол поворота платформы относительно наружного кольца равен нулю) и (угол поворота наружного кольца относительно объекта равен нулю). Тогда уравнения соответствующие каналу принимают вид

В этих уравнениях — абсолютная угловая скорость платформы относительно ее оси Считаем ось осью инерциальной системы координат, т. е. полагаем абсолютную угловую скорость оси равной нулю. Тогда угол

можно рассматривать как угол поворота платформы относительно инерциальной системы координат, а уравнения записывать в виде

Отсутствие в этих уравнениях членов с объясняется тем, что из принятого отношении оси предположения вытекает необходимость предположения

Уравнения совпадают с известными уравнениями одноосного гиростабилизатора на неподвижном основании. Уравнениям соответствует структурная схема гиростабилизатора, показанная на рис. Внутренний контур 1 соответствует свободному гироскопу. Заменяя этот контур эквивалентным звеном приходим к структурной схеме, изображенной на рис. П.9. Входящие в передаточную функцию параметры имеют следующие выражения через исходные параметры гироскопа:

Рис. П.8. Структурная схема одноосного гиростабилизатора

Рис. П.9. Структурная схема, эквивалентная схеме на рис.

В дальнейшем предполагаем, что в схеме гиростабилизатора применен «сухой» гироскоп. Для этого гироскопа очень малая величина. Коэффициент вязкого трения на оси стабилизации также стремятся свести к возможно меньшей величине. Учитывая малость коэффициентов можно параметры выразить упрощенными формулами:

СТАТИЧЕСКАЯ ТОЧНОСТЬ И ПОЛОСА СТАБИЛИЗАЦИИ

Передаточная функция, связывающая угол стабилизации и внешний возмущающий момент , имеет вид (см. рис.

где

Постоянный внешний возмущающий момент вызывает по углу стабилизации статическое отклонение

Назначение гиростабилизатора состоит в том, чтобы поддерживать неизменным угол стабилизации а, так что отклонение нежелательно. При неизменном коэффициенте вязкого трения статическое отклонение можно уменьшить, увеличивая кинетический момент гироскопа и коэффициент усиления цепи разгрузки

Для получения гиростабилизатора, обладающего высоким качеством не только с точки зрения малости статической ошибки, но и ширины частотной полосы стабилизации, целесообразно увеличивать кинетический момент а не коэффициент усиления

Частотной полосой стабилизации называем полосу частот возмущающего момента в которой ординаты амплитудно-частотной характеристики достаточно малы. Для свободного гироскопа, т. е. для случая

Рис. П.10. Амплитудно-частотная характеристика свободного гироскопа

логарифмическая амплитудно-частотная характеристика представлена на рис. П.7. Полоса стабилизации здесь ограничена как со стороны высоких, так и со стороны низких частот. Нетрудно видеть что при увеличении высокочастотная граница полосы смещается в область более высоких частот, т. е. полоса стабилизации расширяется.

Введенное здесь понятие полосы стабилизации гиростабилизатора отличается от известного для следящих систем понятия полосы пропускание тем, что в полосе пропускания синусоидальный входной сигнал следящей системы по амплитуде почти точно воспроизводится на выходе этой системы, тогда как в полосе стабилизации синусоидальный возмущающий момент практически не вызывает синусоидальных колебаний по углу стабилизации а (амплитуда вынужденных колебаний по углу а очень мала).

Вследствие малости относительного коэффициента демпфирования гироскопа (например пик амплитудно-частотной характеристики существующий при частоте очень высок (его высота ). Поэтому угловые вибрации несущего гироскоп объекта с частотой со, близкой к частоте нутации вызывают вынужденные колебания по углу стабилизации а с большой амплитудой. Резонансную частоту гироскопа (частоту нутации) целесообразно смещать в область возможно более высоких частот, что достигается выбором большого значения Однако кинетический момент обычно ограничен требованием минимизации массы и габаритов гиростабилизатора. Поэтому в дальнейшем будем считать, что имеет некоторое фиксированное значение.

ПРИДАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРУ

Поскольку а и фиксированы, уменьшение статической ошибки возможно только увеличением коэффициента усиления цепи разгрузки гиростабилизатора. Однако увеличение приводит к неустойчивости гиростабилизатора, что видно из логарифмических частотных характеристик и из частотного годографа разомкнутого гиростабилизатора, представленных на рис. П.11. Неустойчивость гиростабилизатора возникает из-за того, что частотный годограф имеет вытянутую вдоль отрицательной части действительной оси выпуклость, внутрь которой попадает критическая точка

Рис. П.11. Логарифмические частотные характеристики и частотный годограф разомкнутого некорректированного гиростабилизатора

Устойчивость замкнутого гиростабилизатора можно обеспечить, принимая очень низкое значение коэффициента усиления цепи разгрузки. Однако этот путь неприемлем, так как ведет к очень низкой статической точности гиростабилизатора. При высоком значении устойчивости можно достигнуть введением в цепь разгрузки корректирующего звена.

Специфическая особенность частотного годографа гиростабилизатора, а именно, его вытянутость в направлении отрицательной части действительной оси, помимо традиционного для систем автоматического управления способа (использование фазоопережающего контура), допускает возможность применения для целей стабилизации корректирующих контуров, вызывающих отставание по фазе. Такая возможность обусловлена тем, что к устойчивой замкнутой системе можно прийти не только поворотом «выпуклости» частотного годографа против часовой стрелки (кривая 2 на рис. соответствующая применению дифференцирующего контура), но и поворотом ее по часовой стрелке, например, за счет введения в цепь разгрузки инерционного звена (кривая 5).

Возникает вопрос, какой из этих двух способов стабилизации более предпочтителен. Ответ можно получить, обращаясь к логарифмическим корневым годографам замкнутого гиростабилизатора [8].

Как показывает относительный коэффициент демпфирования нутационных колебаний замкнутого гиростабилизатора при использовании дифференцирующего и инерционного корректирующих контуров имеет примерно одно и то же значение Вместе с тем амплитудно-частотные характеристики показывают, что дифференцирующий контур расширяет частотную полосу стабилизации гиростабилизатора, а инерционный корректирующий контур эту полосу сужает. Таким образом, применение в цепи разгрузки дифференцирующего контура приводит, вообще говоря, к более качественному гиростабилизатору.

Неминимально-фазовое корректирующее звено - как и инерционное обусловливает отставание по фазе и с точки зрения протяженности частотной полосы стабилизации гиростабилизатора уступает дифференцирующему контуру.