9.4. НОВЫЙ АДАПТИВНЫЙ ФИЛЬТР, НЕ ТРЕБУЮЩИЙ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ О МАТРИЦАХ Q И R

Рассмотрим еще один новый алгоритм адаптивной фильтрации (его будем называть адаптивным фильтром модификации), который свободен от недостатков фильтра 1-й модификации. Обновляемый процесс

где

при учете уравнения измерений (8.17) и уравнения объекта (8.16) (для простоты дальнейших вычислений полагаем запишем в виде

Рассмотрим следующую серию взаимоковариационных матриц:

Учитывая выражение (9.40), получим

где

Уравнение (9.41) можно записать в матричной форме

где

Решая уравнение (9.42), получим

где

Заметим, что матрица произведение матрицы наблюдаемости и невырожденной матрицы перехода. Поэтому псевдообратная матрица существует.

Оценку ковариационной матрицы измерительного шума определим по формуле -

Тогда уравнение для матрицы усиления фильтра примет вид

Сформируем из последовательности векторов один вектор

Определим такое значение при котором плотность вероятности будет максимальна, т. е.

Поскольку подвектора гауссовы и связаны линейной зависимостью, вектор также гауссов. Поэтому

Продифференцируем по и приравняем результат нулю (см. разд. 9.3). После преобразования получим

Равенство (9.47) позволяет записать

С учетом выражений (9.48) уравнения (9.43), (9.45) можно записать в виде

Окончательная форма предлагаемого алгоритма адаптивной фильтрации выражается уравнениями (9.49), (9.50), (9.21). Предлагаемый алгоритм возможно трансформировать для случая, когда ковариационная матрица измерительного шума известна.

Для этой цели добавим уравнение дисперсии обновляемого процесса системе уравнений (9.41):

Записывая уравнение (9.51) в компактной форме, получим

Уравнение (9.52) отличается от аналогичного выражения (9.43) формированием матриц В рассматриваемом случае в матрицу кроме взаимоковариационных матриц обновляемых последовательностей входит и дисперсия обновляемого процесса Что касается матрицы то она представляет собой матрицу наблюдаемости. Остальные уравнения фильтра остаются без изменений.

Оценка взаимоковариационных матриц по выражению (9.48) является статистически мало обоснованной и, кроме того, матрица является особой. Поэтому необходимо в алгоритме производить максимизацию плотности вероятности не одного вектора с и а комбинации векторов .

Сформируем последовательность таких векторов:

(см. скан)

Для стационарной системы справедливо

Применяя прежний подход, определим такое значение которое максимизирует совместную плотность вероятности векторов найдем

Нетрудно показать, что векторы попарно независимы. Для независимых векторов справедливо [23] выражение

Учитывая, что гауссовы процессы, получим

Продифференцируем это выражение по и результат приравняем нулю:

Решая последнее уравнение относительно получим (см. разд. 9.6)

Уравнение (9.53) запишем в рекуррентной форме:

Выражение (9.54) записано для блочной матрицы поэтому оно справедливо и для всех элементов этой матрицы, а именно, для элементов матрицы

и для элементов матрицы

Здесь количество подтактов в каждом такте, при этбм в этих подтактах вектор состояния оценке не подлежит, количество тактов осреднения. В каждый такт происходит оценка вектора состояния, причем такт отличается от такта на интервал времени из подтактов проведения измерений.

Перепишем уравнения предлагаемого алгоритма с учетом осреднения текущих обновляемых последовательностей:

Здесь соответственно оценки априорной ковариационной матрицы ошибок, умноженной на матрицы усиления фильтра К для каждого такта оценки вектора состояния. Текущие значения матриц определяются соответственно по уравнениям (9.55) и (9.56). Уравнение для оценки вектора состояния имеет вид

Оценивание вектора состояния осуществляется следующим образом. В каждый такт адаптивный фильтр дает оценку вектора состояния затем на протяжении I подтактов проведения измерений происходит формирование обновляемых последовательностей вида (9.40) и матриц

После того, как матрицы сформированы, происходит оценивание вектора состояния Таким образом, текущие оценки вектора состояния разнесены во времени на I подтактов проведения измерений, т. е. последовательность оценок вектора состояния во времени есть Процедуру вычисления оценок вектора состояния предлагаемым фильтром можно представить следующим образом.

1. Рассмотрим первый такт вычислений Заметим, что использованная здесь запись уравнений предполагает начало работы адаптивного фильтра с произвольного момента времени Этот

такт состоит из I подтактов проведения измерений. На каждом из этих подтактов формируется обновляемый процесс вида

Затем в подтакте происходит формирование матрицы

и матрицы

Далее в этом же подтакте вычисляются по уравнениям (9.57) матрицы Ко (на первом такте вычислений для возможности обращения матрицы следует пренебречь недиагональными элементами этой матрицы) и производится оценивание вектора состояния:

2. Второй такт также состоит из I подтактов, в которых происходит формирование обновляемого, процесса (9.39). В 1-м подтакте формируются матрицы которые с учетом осреднения по уравнениям (9.55), (9.56) имеют вид

В этом же подтакте подтакт, относящийся к концу такта вычислений производится вычисление матриц и оценки

В третьем такте все указанные вычисления повторяются вновь на основе полученной во втором такте информации.

Таким образом, осреднение с целью оценивания матриц производится параллельно процессу оценивания вектора состояния

В заключение остановимся на выборе количества подтактов I в каждом такте вычислений, а также количества тактов на которых происходит осреднение обновляемой последовательности в соответствии с уравнениями (9.55), (9.56). Количество подтактов I диктуется условием псевдообращения матрицы Поскольку матрица представляет собой произведение матрицы наблюдаемости и матрицы перехода, целесообразно выбирать величину равной порядку системы. В том случае, если матрица известна, матрица является матрицей наблюдаемости, и следует выбирать I равной порядку системы. Что касается выбора количества тактов то в случае строго стационарных систем осреднение обновляемых последовательностей может осуществляться на всем протяжении процесса оценивания.

Если система стационарна лишь на ограниченном интервале времени, то количество тактов определяется этим интервалом времени. Следует отметить, что использование предлагаемого алгоритма не ограничивается случаем стационарных систем, а лишь предполагает наличие некоторого количества тактов на которых допустимо осреднение.

И наконец, необходимо отметить, что на начальном этапе осреднения по формулам (9.55), (9.56) возможно нарушение положительной определенности матриц и

которые по определению должны быть неотрицательно определенными. Проверка положительной определенности матриц может осуществляться следующим образом. Пусть необходимо проверить, является ли матрица

положительно определенной. Для этого необходимо вычислить определители (главные миноры) этой матрицы.

Эти миноры (им соответствуют выделенные штриховыми линиями субматрицы)

Если то матрица положительно определена.

Если матрицы и не являются положительно определенными, то в предлагаемом алгоритме считаем

Проверка положительной определенности матриц при использовании предлагаемого алгоритма не требует большого объема вычислений, поскольку эта проверка осуществляется для матриц размера где размерность вектора измерений (см. разд. 10.5).