8.3. АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Уравнения оптимального фильтра (8.53), (8.59), (8.61), (8.62) весьма удобны с вычислительной очки зрения. Действительно, на основе известной оценки в текущий момент времени дается прогноз оценки для будущего момента (априорная оценка который в дальнейшем корректируется с учетом текущих измерений

Таким образом, в начале такта вычисления происходит прогнозирование оценки на этот такт по уравнению

Далее вычисляется оптимальная матрица усиления При этом в первую очередь определяется значение априорной матрицы ошибок оценивания по формуле

Оптимальная матрица усиления вычисляется по уравнению

На следующем такте вычислений понадобится значение апостериорной матрицы ошибок оценивания Поэтому после вычисления матрицы определяется

В конце такта осуществляется корректирование априорной оценки с учетом текущих измерений:

В следующем такте (такт ) процедура вычислений повторяется вновь на основе найденных для такта значений

Для реализации указанной схемы вычислений необходимы начальные условия Роль начальных условий выполняют следующие априорные данные:

Рассмотрим теперь более общий случай, когда объект описывается уравнением

учитывающим управление

Уравнение измерений

Здесь - вектор детерминированного управления; -матрица входа по управлению.

Для объекта (8.63) выберем следующую структуру фильтра Калмана:

Поясним этот выбор. Фильтр представляет собой модель объекта. Поскольку на реальный объект действует детерминированный вектор управления то для обеспечения одинаковости фильтра с объектом необходимо на фильтр также подавать детерминированный сигнал .

Покажем, что введение детерминированного сигнала в структуру фильтра не изменит уравнений для Сформируем ошибку оценивания:

Подставляя в уравнение (8.66) вместо выражения (8.63), (8.64), получим

Уравнение (8.67) полностью совпадает с уравнением (8.55), соответствующим случаю, когда член отсутствует. Но это означает, что уравнения для остаются такими же, как и в случае отсутствия сигнала

Рассмотрим случай стационарной системы при стационарных входных и измерительных шумах. В этом случае к концу переходного процесса матрицы устанавливаются, т. е. принимают постоянные значения:

В установившемся состоянии уравнение для априорной матрицы ошибок оценивания будет

Решая это уравнение, можно получить установившееся значение априорной ковариационной матрицы ошибок оценивания. В общем виде решить уравнение (8.69) трудно, поэтому рассмотрим только границы изменения матрицы . С этой целью перепишем уравнение (8.69) в виде

где —

Подставляя в правую часть вместо выражение (8.69), получим

Осуществляя такую подстановку раз, находим

Известно [23], что для стационарной системы при стационарных шумах оптимальный фильтр асимптотически устойчив. Другими словами, собственные значения матрицы находятся в круге единичного радиуса [(см. (8.55)]. Поскольку фильтр асимптотически устойчив и матрица А имеет вид первым слагаемым в уравнении (8.71) можно пренебречь. Таким образом, установившееся значение априорной ковариационной матрицы ошибок оценивания будет в основном определяться ковариационной матрицей входного шума, т. е.

Рассмотрим случай, когда матрица К не является оптимальной. Неоптимальность К может быть вызвана, например, неточным заданием ковариационных матриц входных и измерительных шумов

В разд. 8.2 было рассмотрено уравнение для ковариационной матрицы ошибок оценивания при произвольно выбранной матрице К [см. (8.58), (8.60)]. Для установившегося состояния стационарной системы это уравнение имеет вид

Априорная ковариационная матрица в случае субоптимального фильтра

Уравнения (8.73), (8.74) справедливы для случая, когда матрица К является произвольно выбранной матрицей. В том случае, когда матрица К выбрана оптимально, т. е.

уравнения (8.73), (8.74) переходят в уравнения оптимального фильтра Калмана (8.62), (8.59).