ПРИЛОЖЕНИЯ. 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОШИБОК ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ И ИХ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

В гл. 5 уравнения ошибок ИНС получены варьированием уравнений невозмущенной (идеальной) работы. При этом углы ориентации (углы отклонения системы платформы от вычислительной системы) предполагались малыми. Как было показано в гл. 3 и 8, из-за дрейфа гироплатформы ошибки определения местоположения растут со временем и, поскольку углы отклонения гироплатформы от местного горизонта остаются малыми, углы (будем называть их углами ориентации) беспредельно возрастают. Наиболее быстро в корректируемой ИНС возрастает угол Таким образом, принятое при выводе уравнений ошибок ИНС (5.17) - (5.22) и (5.24) — (5.28) предположение о малости углов ориентации следовательно, сами уравнения справедливы лишь на ограниченном от начала работы отрезке времени (величина этого отрезка определяется точностью использованных в ИНС гироприборов).

Сравнение точных уравнений, полученных в этом разделе, с уравнениями из гл. 3 и 8 позволяет вычислить ошибку линеаризации, определяемую углом Эта ошибка для одного из каналов показана на рис.

Здесь выводятся уравнения ошибок ИНС, справедливые на любом сколь угодно большом интервале работы ИНС. Поскольку уравнения нелинейны, предлагается их кусочная линеаризация, позволяющая идентифицировать ошибки ИНС методами линейной оптимальной фильтрации.

В дальнейшем рассматривается ИНС со свободной в азимуте гироплатформой [12]. Будем пользоваться системами координат, введенные в разд. 4.1 и 5.4, а именно, инерциальной навигационной географической правильной платформенной и вычислительной В качестве первичных ошибок ИНС, по-прежнему, принимаются смещения акселерометров, дрейф гироскопов и ошибки внешнего измерителя скорости объекта. Обозначения этих ошибок, угловых скоростей различных трехгранников и все другие обозначения также остаются прежними (см. разд. 4.1).

Выведем уравнения, справедливые при любых величинах углов ориентации. Вычислительное устройство определяет координаты обьекта, движущегося по земной сфере. Из-за ошибок измерения путевой скорости, смещений акселерометров и дрейфа платформы эти координаты отличаются от правильных, и точка не совпадает с точкой определяет вычислительный трехгранник в, ось которого направлена по радиусу С увеличением ошибок определения координат растет отклонение точки от точки а следовательно, растет перекос осей системы относительно осей системы Дрейф платформы вызывает перекос трехгранника относительно трёхгранника Соотношения

Рис. П.1. График относительной ошибки по положению, возникающей при линеаризации

Рис. П.2. Взаимная ориентация осей вычислителя и осей реальной платформы между ортами рассматриваемых трехгранников определим с помощью матриц преобразований (матриц направляющих косинусов):

Вид матрицы определим из рис. П.2.

Элементы матриц имеют аналогичный вид.

Найдем уравнения, определяющие углы Если некоторая матрица преобразования между осями координат то имеет место соотношение между ортами этих осей

Производные в зависимости от выражаются в виде

В векторной форме равенство можно записать следующим образом:

где угловая скорость трехгранника относительно ииерциального трехгранника определенная в осях Матричное представление выражения имеет вид

Приравнивая и получаем

Из уравнений определим соотношение между ортами осей

По аналогии с транспонированная матрица вращения вычислительного трехгранника относительно инерциального трехгранника записанная в осях в, равна

Используя выражение можно записать

Угловую скорость платформы по каждой из осей можно рассматривать как сумму угловой скорости вычисленной в БЦВМ для соответствующей оси в и сообщаемой платформе через моментные датчики, и скорости дрейфа платформы по этой оси. Тогда в матричной форме можно записать, что

Подставляя в получаем уравнение

определяющее углы Знание этих углов позволит вычислить матрицу по выражению которая характеризует ошибки в ориентации вычисленных осей относительно осей реальной платформы. Учитывая свойство матрицы преобразований можно записать матричное уравнение в поэлементной форме. Проделывая несложные тригонометрические преобразования, получим нелинейные уравнения следующего вида:

при начальных условиях

Теперь перейдем к выводу уравнений ошибок в определении координат местоположения объекта.

В БЦВМ решается основное уравнение инерциальной навигации с использованием информации, поступающей от акселерометров и лага.

Здесь выбрана схема коррекции, в которой демпфирование осуществляется с одновременным изменением частот собственных колебаний.

Ей соответствуют следующие уравнения [1]:

решение которых в ЦВМ позволяет определить элементы матрицы-столбца Вычисленное положение объекта соответствует точке в которой вычислитель определяет оси В. Проекции на оси будут равны нулю, так как ось вычислительного трехгранника направлена по вектору В осях В с началом координат в точке О эти проекции определят положение точки Уравнение ошибок для больших углов перекоса осей можно получить вычтя из уравнения возмущенной работы в осях В уравнение правильной работы, записанное в тех же осях.

Вектор кажущегося ускорения компоненты которого доступны измерениям в осях расценивается вычислителем как вектор, соответствующий фиктивной платформе с осями В, хотя эти оси перекошены относительно Путевая скорость V измеряется лагом, положение которого относительно платформы известно с высокой степенью точности. Поэтому в дальнейшем будем считать, что компоненты V определены в осях Корректирующий член где матрица-столбец соответствует вектору скорости относительно Земли, вычисляемому в осях соответствует вектору путевой скорости, измеряемому в осях матрица-столбец ошибки измерения. С учетом приведенных выражений получим

Смещения акселерометров вызовут ошибку поэтому матрица-столбец, компоненты которой могут быть измерены на платформе, имеет вид

где

Продифференцируем уравнения и подставим в них значения определенные выше:

где Матрица определяется в вычислителе. Считая Землю сферой радиуса вычисляем по формуле

Из выражения найдем, что

Продифференцировав это выражение, получим

Подставляя в получаем уравнение, определяющее компоненты вектора положения в возмущенном состоянии в осях В:

Теперь определим в осях В уравнение, соответствующее правильной работе ИНС. В осях определены матрицы-столбцы Их запись в осях даст матрицы компоненты которых доступны измерению на реальной платформе. Учитывая то, что оси перекошены относительно осей В, правильное представление этих матриц в вычислительных осях определим выражениями

Уравнения, соответствующие невозмущенной работе ИНС и записанные в осях В, имеют вид

где

Индекс означает что матрицы-столбцы вычисляются в осях В по измерениям, полученным в осях и учитывающим перекос осей В. Использование говорит о том, что записаны в прежних осях В, соответствующих фиктивной платформе. Выполняя операции, аналогичные проделанным над получим уравнение невозмущенной работы, записаное в осях В:

Тогда уравнение ошибок в осях В можно определить, вычтя из уравнение Оно имеет вид

где матрица-столбец ошибок При скоростях движения объекта, меньших скорости звука и можно пренебречь членами второго порядка малости. В результате получим

Можно записать уравнение ошибок, зависящее от матриц-столбцов правильной системы с учетом матрицы преобразований За счет гравиметрической обратной связи ось платформы достаточно точно восстанавливает местную вертикаль Углы характеризующие ошибку в построении вертикали, остаются малыми в течение всей работы ИНС. В то же время угол характеризующий азимутальную ошибку платформы, может неограниченно возрастать. Поэтому элементы матрицы будут иметь вид

Матрица может быть найдена из соотношения

полученного по выражениям

Обозначим через матрицу-столбец ошибок в вычислении абсолютной угловой скорости в ЦВМ. Тогда справедливо равенство

Применяя рассуждения, аналогичные используемым при получении уравнения можно записать в осях В матричное уравнение для углов

и соответствующие ему скалярные уравнения

Зная можно выразить компоненты через компоненты Представим матрицу в виде

Очевидно,

Учитывая это, перепишем уравнение в виде

Перемножая матрицы, можно найти проекции уравнения ошибок на оси

Полученные скалярные уравнения решаются совместно с Используя выражение

можно найти проекции вектора ошибок на оси

Применение предложенной математической модели в задаче оценивания ошибок ИНС осложняется тем, что уравнения нелинейны.

В настоящее время достаточно хорошо разработаны методы линейного оценивания. Они требуют линеаризации нелинейных функций на каждом такте предыдущей оценке. Однако оценки углов и 0 получаются с большой ошибкой. Это приводит к быстрому расхождению действительных ошибок ИНС и их оценок. Линеаризация требует также большого объема вычислений на каждом такте.

Ниже предлагается метод кусочной линеаризации, позволяющий получить линейное описание ошибок справедливое при любом времени работы системы. Представим матрицу в виде

где — кососимметричная матрица, соответствующая малым углам постоянная матрица, определяемая на предыдущих пересчетах при достижении границ линейной зоны по формуле

при начальных условиях

Также можно представить матрицу в виде

где имеют смысл, аналогичный

Слабая наблюдаемость и не позволяет получить их точные оценки с помощью алгоритмов фильтрации. Поэтому определяем приближенные оценки , модуль которых равен средним квадратичным значениям соответствующих углов, а знаки определяются по знакам оценок полученных при фильтрации. В линейной области изменения углов и 0 справедливы соотношения

где

Получим приближенные оценки в виде

Знак определяется при найденных по третьему уравнению полученному ниже. Аналогично находятся оценки

Используя линеаризуем уравнение ошибок ориентации пренебрегая членами второго порядка малости.

Получим уравнение

которое определяет ошибки ориентации, линеаризованные относительно фиксированных осей вычислителя, определяемых матрицей Записывая в поэлементной форме, получим

где

Аналогично можно линеаризовать уравнение используя выражение Получим

или в поэлементной форме

где

Используя , можно записать матричное уравнение ошибок определения местоположения объекта в осях В без учета членов второго порядка малости:

Перемножая матрицы в можно найти проекции этого уравнения на оси Запись означает пересчет матрицы ускорений, элементы которой

Рис. П.3. График ошибки линеаризации в определении диагональных направляющих косинусов матрицы

доступны измерению на платформе, к фиксированным вычислительным осям, определяемым матрицей

Решение уравнений на ЦВМ показало справедливость предложенной линеаризации. Сравнение проводилось по элементам матрицы полученной по выражению для углов, вычисленных по уравнению и матрицы полученной из выражения и уравнений при точном знании оценок углов. На рис. показаны графики разности диагональных направляющих косинусов точной и линеаризованной матриц.