ГЛАВА 8. УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

В настоящей главе выводятся уравнения оптимального фильтра (фильтра Калмана), предназначенного для индентификации (оценивания) переменных состояния системы по данным измерения выходных сигналов этой системы, содержащих случайные ошибки измерения (измерительный шум). Идентификация оптимальна в том смысле, что сумма квадратов ошибок оценивания переменных состояния в любой момент времени имеет наименьшее возможное значение. Ошибка оценивания — это разность между оценкой, вырабатываемой фильтром, и действительным значением переменной состояния системы, соответствующим случаю приложения к системе детерминированных и случайных внешних воздействий. Следовательно, фильтр Калмана предназначен для наилучшего в указанном выше смысле восстановления переменных состояния, т. е. для оптимального подавления измерительного шума.

Рис. 8.1. Геометрическая иллюстрация принципа ортогональности

Оценке с помощью фильтра Калмана доступны лишь переменные состояния, являющиеся наблюдаемыми по результатам измерения выходных сигналов. Если вектор состояния системы наблюдаем не полностью, то можно вместо обычного фильтра, идентифицирующего весь вектор состояния, синтезировать редуцированный фильтр Калмана, т. е. фильтр, оценивающий лишь некоторые переменные состояния.

Технические приложения фильтра Калмана весьма многообразны (в частности, этот фильтр используется для идентификации ошибок инерциальной системы навигации). Но наибольшее практическое применение находит дискретный фильтр Калмана, так как именно он может быть реализован с помощью ЦВМ.

8.1. ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ В ВИДЕ ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИИ ИЗМЕРЕНИЙ

Рассмотрим сначала понятие ортогональности, играющее важную роль в теории оценок [12]. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю то считаем, что вектор х ортогонален вектору у, и записываем это в виде

С помощью геометрической картины можно наглядно проиллюстрировать принцип ортогональности, используемый в теории оценок. Допустим, что в гильбертовом пространстве задана плоскость измерительных векторов и в этом пространстве определен вектор х, который необходимо оценить, используя любой из векторов в плоскости (рис. 8.1). Легко видеть, что наилучшей оценкой вектора х (т. е. оценкой, при которой ошибки оценивания минимальны) будет проекция вектора х на плоскость Действительно, перпендикуляр из конца вектора х является наименьшим расстоянием до плоскости измерительных векторов а этот перпендикуляр и является ошибкой оценивания где оценка вектора х. Таким образом, принцип ортогональности можно выразить условием

Доказательство принципа ортогональности приведено, например, в работе [12].

Если х, у — случайные векторы в гильбертовом пространстве, то для придания минимума функционалу

необходимо выполнить условие ортогональности

переходящее для детерминированных векторов в условие (8.1).

Принцип ортогональности является основным исходным положением в теории линейных оценок и, в частности, при решении задачи оптимальной фильтрации по Калману.

Рассмотрим линейную дискретную систему, уравнения которой [11, 12]

Здесь - вектор состояния; - вектор возмущения; -вектор измерения; - вектор ошибок измерения; — матрица системы — матрица входа матрица измерений

Процесс предполагается в виде -мерной гауссовой «белой» последовательности с нулевым средним значением

и корреляционной матрицей

где неотрицательно определенная матрица — символ Кронекера, означающий

Процесс предполагается в виде -мерной гауссовой последовательность, для которой

где неотрицательно определенная матрица Квадратная матрица называется неотрицательно определенной, если производимая с помощью этой матрицы квадратичная форма неотрицательно определенна. Если составляющие вектора или V некоррелированы между собой, то матрица или диагональная, причем диагональные элементы представляют собой дисперсии составляющих.

Ограничимся рассмотрением случая, когда гауссовы случайные процессы некоррелированы, т. е.

при любых

Начальное состояние принимаем в виде гауссова случайного -вектора с нулевым математическим ожиданием и с неотрицательно определенной корреляционной матрицей:

Предполагается, что не зависит от так что

для любого

При указанных условиях система (8.4) — (8.5) обладает следующими свойствами.

1. Случайные процессы гауссовы с тождественно равными нулю математическими ожиданиями.

Доказательство этих свойств приведено в работе [12].

Сформулируем задачу оптимальной фильтрации. Пусть имеется система (8.4) — (8.5), удовлетворяющая указанным допущениям. Необходимо так оценить вектор состояния чтобы достигался минимум функционала

Оптимальную оценку ищем в виде

Здесь математическое ожидание при условии т. е. среднее значение вектора вычисленное при использовании измерения

Для доказательства правомерности этого предположения используем следующую известную в теории вероятности теорему для гауссова условного математического ожидания [12, 23]: разность и случайный вектор, полученный любым линейным преобразованием вектора z, независимы.

Пусть является вектором измерений случайной величины Для оптимальности оценки необходимо, согласно принципу ортогональности, выполнение условия

Но этому условию, согласно указанной теореме, удовлетворяет Отсюда при учете единственности оценки, оптимальной с точки зрения критерия (8.19), следует

Необходимо отметить, что оценка (8.21) справедлива лишь для гауссовых процессов, так как вытекает из упомянутой теоремы о независимости гауссовых векторов

Прежде чем перейти к выводу рекурсивных соотношений для оптимального фильтра Калмана, необходимо отметить еще одно свойство условного математического ожидания гауссовых процессов, а именно, случайный вектор, компоненты которого являются линейной комбинацией компонент Согласно этому свойству оптимальная оценка гауссова процесса может быть представлена в виде линейной комбинации измерений