9.7. СВОЙСТВА ФИЛЬТРОВ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ОБНОВЛЯЕМОМУ ПРОЦЕССУ

В разд. 9.3, 9.4, 9.6 были рассмотрены новые алгоритмы адаптивных фильтров 1, 2 и модификаций. Эти фильтры, а также алгоритм Язвинского можно отнести к классу адаптивных фильтров с обратной связью по обновляемому процессу. Действительно, в алгоритмы этих фильтров вместо дисперсии обновляемого процесса непосредственно входит квадрат этого процесса Однако указанная замена приводит к потере адаптивным фильтром оптимальности, поскольку введение в статистическое уравнение Рикатти «детерминированного» сигнала обусловливает ошибки в вычислении оптимальной матрицы усиления фильтра К, порожденные различием в значениях матриц Вместе с тем такая «детерминированная» связь придает фильтру ряд ценных свойств. К ним относится малая чувствительность адаптивного алгоритма к неточностям в априорном описании объекта и действующих на него входных шумов.

Фильтры с обратной связью по обновляемому процессу дают нерасходящуюся оценку вектора состояния и в случае малых вариаций параметров объекта, и в случае неизвестного нестационарного входного детерминированного воздействия, и при отсутствии какой-либо информации о статистике входного, а в случае -модификации и измерительного шума. Таким образом, предложенные здесь алгоритмы работоспособны при больших неопределенностях в априорной информации.

Пусть априорная информация об объекте значительно отличается от действительного описания объекта. Тогда ошибка оценивания по каждому из каналов возрастает, что приводит к увеличению нормы матрицы усиления фильтра К (9.99). Это увеличивает влияние текущих измерений на текущую оценку. Вследствие большой неточности в априорной информации следует больше «доверять» измерениям, чем априорной оценке.

Пусть теперь отсутствует какая-либо априорная информация об объекте. Известно лишь, что объект описывается линейными уравнениями, на его вход поступают шумы с гауссовым законом распределения и что

В алгоритме фильтра используем произвольную математическую модель объекта. В этом случае ошибки оценивания фильтра столь велики, что приводят матрицу усиления фильтра К к единичной матрице (см. разд. 9.3, 9.6). Это равнозначно тому, что оценка фильтра базируется только на информации от измерителя, т. е.

Другим возможным алгоритмом, позволяющим получить по измерениям оценку вектора состояния в отсутствии какой-либо априорной информации об объекте, является алгоритм максимума правдоподобия. В этом алгоритме оценка ищется по максимуму плотности вероятности вектора при условии появления вектора , т. е.

При гауссовых процессах имеем

Оценка по максимальному правдоподобию определяется как корень уравнения

Из этого уравнения оценку находим в виде

или при в виде

Таким образом, оценка по максимальному правдоподобию (9.111) полностью совпадает в случае с оценкой, вырабатываемой фильтром с обратной связью по обновляемому процессу (9.110). Отсюда следует, что адаптивный фильтр с обратной связью в случае отсутствия априорной информации об объекте автоматически выбирает единственно правильное решение, т. е.

Когда некоторая априорная информация об объекте используется, матрицу усиления К близка, но все же отлична от единичной матрицы. Следовательно, адаптивный фильтр с обратной связью использует всякую правильную априорную информацию об объекте.

Покажем на простом примере преимущества фильтра с обратной связью (фильтр 1-й модификации) по сравнению с адаптивным фильтром, рассмотренным в разд. 9.1.

Пусть уравнение объекта

где

а уравнение измерителя

Рис. 9.1. Графики изменения истинного вектора состояния и его оценок, производимых фильтром Мехра и фильтром 1-й модификации

где

Считаем, что по истечении 200 тактов с начала вычислений на входе объекта появляется смещение т. е. постоянное внешнее воздействие. Требуется оценить состояние объекта в условиях, когда ковариационная функция и величина упомянутого смещения заранее не известны. Для решения задачи использовались алгоритм адаптивного фильтра Мехра (при использовании этого алгоритма оценка ковариационной матрицы велась параллельно процессу оценивания вектора состояния) и адаптивный фильтр с обратной связью по обновляемому процессу 1-й модификации. На рис. 9.1 представлены графики изменения переходных процессов. На рисунке истинный вектор состояния; оценка, даваемая адаптивным фильтром, рассмотренным в разд. 9.1; оценка, даваемая адаптивным фильтром с обратной связью по обновляемому процессу 1-й модификации.

Сравнение этих переходных процессов показывает, что до такта (до появления входного смещения оценки состояния системы имеют приблизительно одинаковую точность. Появление входного смещения начиная с такта приводит к тому, что оценка фактически расходится, в то время как адаптивный фильтр с обратной связью «отрабатывает» неизвестное смещение и его оценка является нерасходящейся.

Расходимость оценки объясняется следующими причинами.

При достаточно большом значении фильтр, рассмотренный в разд. 9.1, в значительной степени теряет свойство адаптивности, т. е. практически не реагирует на изменения в объекте по сравнению с известными априорными данными. Потеря адаптивности при большом объясняется тем, что позднейшие изменения объекта, например, появление на такте постоянного смещения хотя и увеличивает ошибку оценивания на последующих тактах вычислений, практически не сказывается на К, так как это увеличение входит в оценку с малым весом Вместе с тем, использование фильтра с обратной связью по обновляемому процессу позволяет за счет обратной связи по адаптироваться к нестационарным неопределенностям в математическом описании объекта.

Рассмотренный пример наглядно иллюстрирует адаптивные свойства фильтров с обратной связью по обновляемому процессу. Понижение точности оценивания фильтром с обратной связью по сравнению со случаем оптимального фильтра Калмана существенно зависит от соотношений уровней входных и измерительных шумов. Это главным образом относится к алгоритму Язвинского.

Когда уровень измерительного шума значительно больше уровня входного шума, точность оценки с помощью фильтра Язвинского по сравнению со случаем оптимального фильтра резко падает, что объясняется следующими обстоятельствами.

При малом уровне входного шума по сравнению с измерительным шумом выделить из обновляемого процесса достаточно точно составляющую, соответствующую входному шуму, довольно трудно.

Эти трудности не возникают в случае использования предложенных в этой главе алгоритмов модификаций. Эти алгоритмы строятся таким образом, что процедура вычисления оптимального коэффициента усиления не предусматривает оценку матрицы а предполагает использование всей информации, имеющейся в обновляемом процессе Следовательно, данная процедура исключает необходимость выделения из обновляемой последо вательности величины, характеризующей уровень входного шума, так что упомянутые выше трудности не возникают.

В заключение необходимо отметить, что с целью повышения точности оценивания в предлагаемых алгоритмах с обратной связью по обновляемому процессу целесообразно использовать осредненное значение обновляемого процесса - При этом количество тактов осреднения может быть небольшим тактов). Требуемое число тактов осреднения зависит главным образом от протяженности интервалов времени, на которых можно считать систему мало отличающейся от стационарной.