9.2. АДАПТИВНЫЙ ФИЛЬТР ЯЗВИНСКОГО С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ОБНОВЛЯЕМОМУ ПРОЦЕССУ

В предыдущем разделе был рассмотрен корреляционный подход к созданию алгоритмов адаптивной фильтрации. Было показано, что реализация таких алгоритмов на бортовом вычислителе для повышения точности ИНС затруднительна.

В этом разделе рассмотрен другой подход к разработке адаптивных фильтров. Корреляционные алгоритмы строятся на основе статистического анализа обновляемой последовательности, и оценка ковариационных матриц проводится уже после набора статистического материала.

Использование такого подхода при расчетах в реальном масштабе времени затруднительно.

Рассмотрим другой подход, использованный Язвинским в работе [23]. В отличие от рассмотренного в разд. 9.1 этот подход предполагает оценку ковариационной матрицы непосредственно после получения случайного значения обновляемого процесса. Таким образом, статистика входного шума на каждом этапе измерений подстраивается к появившемуся значению обновляемого процесса.

Рассмотрим для простоты случай, когда ковариационную матрицу входного шума можно представить в виде Предположим что измерения — скаляр. Это предположение не влияет на общность решения задачи, поскольку существует возможность применения метода последовательной фильтрации, когда вектор измерений обрабатывается последовательно компонента за компонентой.

Предположим, что необходимо определить такое значение при котором наиболее вероятно появление значения обновляемой последовательности Другими словами, необходимо определить такое значение которое обеспечит максимум плотности вероятности появления обновляемой последовательности т. е.

Ограничение вытекает из определения ковариационной матрицы. В разд. 8.4 было показано, что белый гауссов шум с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей (9.1). Тогда плотность вероятности можно записать в виде

или учитывая, что

Продифференцируем и результаты приравняем нулю:

Производя упрощения, находим

Условие (9.12) названо Язвинским в работе [23] условием состоятельности. Воспользуемся им для оценки Подставив в (9.11) вместо значение получим

Отсюда

Учитывая, что скалярная величина всегда положительна, окончательно получим

Выражение представляет собой ковариационную функцию обновляемой последовательности при отсутствии входного шума. Случай соответствует как раз тому, что при существует состоятельность между обновляемой последовательностью и ее статистикой.

Для случая условие состоятельности между и ее статистикой нарушается, что вытекает из

(9.13). Для восстановления условия состоятельности необходимо к ковариационной функции добавить ковариационную функцию Ковариационная функция обновляемой последовательности в этом случае будет

откуда

Линейный фильтр, определяющий не только оценку вектора состояния, но и ковариационную матрицу входного шума по формуле (9.13), можно назвать адаптивным, причем адаптивность понимается в следующем смысле. Пока значение обновляемой последовательности не превышает величины 1а, где а — среднее квадратичное отклонение для случая уровень ковариационной матрицы можно считать нулевым, т. е. принимаем Это соответствует случаю, когда значение невелико и является состоятельным по отношению к своей статистике. Когда величина становится больше, чем заранее установленное значение 1а, фильтр выдает оценку и увеличивает Это в свою очередь увеличивает и тем самым увеличивается вес текущих измерений, что способствует сходимости процесса фильтрации.

Этот фильтр является достаточно простым, однако он имеет серьезные недостатки. Дело в том, что оценка базируется только на одном значении Поэтому в случае малости ковариационной матрицы входного шума по сравнению с ковариационной матрицей измерительного шума при большом случайном значений разность мала (так как мал Уровень входных шумов). Следовательно, неизвестно, вызвана ли малая эта разность наличием малого входного шума, или это случайные «всплески» измерительного шума. Чтобы избежать этого, Язвинский [23] предлагает для оценки по формуле (9.13) брать не одно значение а осредненную по значениям величину

Здесь

где

Таким образом, чтобы подучить оценку и далее оценивать вектор состояния необходимо провести измерений, после чего вычислить и далее подставить вместо в формулу (9.13). Отсюда следует, что при использовании формулы (9.14)

производить оценку на каждом такте измерений, как это осуществляется в обычном фильтре Калмана, нельзя. Здесь необходимо произвести измерений и только на такте измерений вычислить оценку

Обратимся к рассмотрению более общего случая, когда матрица не может быть представлена в виде Пусть диагональная матрица размера с неизвестными элементами, а матрица Пусть, как и прежде, измерения являются скалярными, т. е. матрица наблюдений —строка. Рассмотрим следующую обновляемую последовательность:

Здесь

где

Дисперсия обновляемого процесса (9.15) имеет вид

По аналогии со случаем, когда получим условие состоятельности для обновляемой последовательности вида (9.15):

Заметим, однако, что уравнение (9.17) получается на основе максимизации совместной плотности вероятности

Запишем уравнение (9.17) с учетом выражения (9.16) для различных значений:

Здесь

Индексом обозначается номер элемента матрицы-строки. Например, обозначает элемент матрицы-строки взятый в квадрате; диагональные элементы матрицы

Запишем уравнение (9.18) в матричной форме

Здесь

Решая уравнение (9.19), получаем

где

Псевдообратная матрица существует, поскольку для полностью наблюдаемого объекта строки матрицы А линейно независимы.

Предложенный в работе [23] алгоритм обладает следующими недостатками.

1. Оценка по уравнению (9.20) связана со значительными вычислительными трудностями, поскольку требует формирования и псевдообращения матрицы А.

2. Оценка согласно этому алгоритму статистически мало обоснована, поскольку базируется фактически на одном значении обновляемого процесса [см. (9.17)]. Этот недостаток имеет особенно существенное значение для случая, когда норма матрицы значительно превышает норму матрицы

3. Алгоритм строится только для диагональной матрицы

4. Алгоритм не предусматривает оценивание матрицы измерительных шумов