8.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ

Для системы (8.4) — (8.5) определим пространство измерений с элементами что записывается как

Здесь вектор измерений; А — произвольная матрица. Пространство содержит все возможные линейные комбинации векторов измерений от до Оптимальная оценка вектора состояния представляет собой одну из линейных комбинаций измерений от до как это вытекает из (8.22). Следовательно,

В разд. 8.1 было показано, что оптимальная оценка вектора состояния является ортогональной проекцией этого вектора на пространство измерений у, т. е.

где оптимальная оценка вектора момент времени, основанная на -измерениях (от до ошибка оценивания.

Докажем, что оптимальная оценка вектора состояния момента, основанная на -измерениях в предшествующие моменты времени выражается через оптимальную оценку для момента формулой

Было показано

Покажем теперь, что

т. е., что оценка выражаемая формулой (8.25), удовлетворяет принципу ортогональности. Это равнозначно доказательству справедливости формулы (8.25).

Другими словами, необходимо доказать, что — ортогональная проекция вектора на пространство

Разложим вектор на составляющие

Пусть у — некоторый вектор пространства измерений Обозначим

так что

равносильно условию (8.26).

Используя уравнение системы

и разложение (8.24) для момента

выражение (8.28) приведем к виду

Производя транспонирование, получим

Так как и вследствие оптимальности оценки х первое слагаемое в уравнении (8.33) равно нулю. Тогда

Поскольку а измерение произведенное в текукущий момент

не зависит от (разд. 8.1), то согласно определению Таким образом, оценка (8.25) является оптимальной.

Определим ковариационные матрицы ошибок оценивания:

Ковариационная матрица ошибок оценивания, определенная выражением (8.36), называется априорной, поскольку она несет информацию о ковариации ошибок оценивания для момента времени, содержащуюся в измерениях для момента Ковариационная матрица (8.37) называется апостериорной, так как выражает ковариацию ошибок оценивания для момента времени, основанную на проделанных измерениях. Другими словами, априорная ковариационная матрица — это ковариационная матрица ошибок оценивания для момента времени, предсказанная по предшествующим измерениям, в то время как апостериорная матрица уточняет это предсказанное значение учетом измерения в текущий момент

Найдем выражение для

Подставляя выражение (8.38) в уравнение (8.36), находим

Покажем, что не зависит от Принимая во внимание выражение (8.22), имеем

Учитйвая свойства 2 и 3, приведенные в разд. 8.1, приходим к выводу, что выражение (8.41) равно нулю, т. е. независимы. Отсюда следует, что два последних члена в выражении (8.39) равны нулю, так что

Здесь апостериорная матрица ошибок оценивания для момента — ковариационная матрица действующего на объект случайного возмущения. Выражение (8.42) показывает, что знание апостериорной ковариации для момента позволяет найти априорную ковариацию ошибок оценивания для момента.

Согласно уравнению (8.5), оценке соответствует

Ошибка априорной оценки выхода

Подставляя в это выражение уравнение измерителя

находим следующее выражение ошибки априорной оценки выхода:

Согласно формуле (8.25),

Подставляя это выражение в уравнение (8.44), получаем другое выражение ошибки априорной оценки выхода:

Введем в рассмотрение пространство ошибок оценки выхода:

где произвольная -матрица, ошибка априорной оценки выхода.

Ранее было показано, что где линейная комбинация всех от до Следовательно, пространство является функцией всех от до

Докажем, что пространство измерений и пространство ошибок оценки выхода ортогональны,

Другими словами, необходимо показать, что

Подставляя выражение (8.46) в левую часть уравнения (8.50), получим

Равенство нулю этого выражения объясняется следующими обстоятельствами. Поскольку оценка вектора оптимальна и, следовательно, выполняется принцип ортогональности, первое слагаемое в уравнении (8.51) равно нулю, так как Равенство нулю второго слагаемого вытекает из и из свойства 5 (см. разд. 8.1). Таким образом, формула (8.50) доказана.

Пространство называется прямой суммой, что записывается как

если каждый элемент может быть представлен единственным образом как

Для пространства формула (8.52) действительно имеет место, что вытекает из следующих рассуждений.

Рассмотрим пространство

Пространство является подпространством пространства . В функциональном анализе доказывается, что если подпространство пространства то любой элемент единственным образом представляется как где

Здесь подпространство является ортогональным дополнением подпространства [87]. Под ортогональным дополнением понимается совокупность элементов ортогональных ко всем элементам Ранее [см. (8.50)] было доказано, т. е. элементы ортогональны ко всем элементам Отсюда следует, что — ортогональное дополнение подпространства Таким образом, можно представить в виде

что и доказывает формулу (8.52).

Оценка вектора состояния полученная на основе измерений, является линейной комбинацией измерений от до Но включает все линейные комбинации измерений от до Поэтому Согласно принципу ортогональности, ортогональная проекция вектора на Учитывая ранее выведенное соотношение

Можно записать: ортогональная проекция на ортогональная проекция на ортогональная проекция на Это соотношение с использованием обозначений самих проекций

где

Здесь теперь не произвольная, а вполне определенная -матрица, удовлетворяющая условию, что ортогональная проекция вектора на подпространство Это условие записывается в виде

(В — произвольная -матрица) и может быть использовано для нахождения конкретного выражения матрицы [12].

В дальнейшем, однако, при выводе выражения будет применен другой подход основанный на непосредственной минимизации функционала:

где обозначение следа матрицы.

Ошибка оценивания вектора состояния

Подставляя в это уравнение вместо выражения (8.4), (8.5), имеем:

При использовании этого выражения перейдем к формированию матрицы

Нетрудно видеть, что

Действительно, согласно уравнению влияет на а не на Следовательно, не зависит от Измерительный шум в момент не оказывает влияния на х.

При учете равенства (8.57) раскроем скобки в уравнении (8.56):

определяются выражениями (8.37), (8.7), (8.10).

Раскрывая скобки в правой части уравнения (8.58), находим

Минимизируем выражение (8.60) для матрицы выбором матрицы усиления как это сделано, например, в работе [11].

В результате находим следующую оптимальную матрицу усиления фильтра матрицу, при которой среднее значение суммы квадратов ошибок оценивания принимает наименьшее значение:

Подставляя это выражение в уравнение (8.60) и учитывая симметрию матриц, получим

Таким образом, алгоритм фильтра Калмана сводится к уравнениям (8.53), (8.59), (8.61), (8.62),