4.4. РАСЩЕПЛЕННАЯ РАСЧЕТНАЯ СХЕМА m-n

Акселерометры измеряют ускорение определяемое формулой

где абсолютное ускорение объекта (машины); ускорение силы земного тяготения (гравитационной силы). Поскольку где абсолютная (инерциальная) скорость машины, можно при использовании локальной производной записать

Здесь — угловая скорость системы относительно системы Из выражений (4.26), (4.27) следует

Расчет инерциальной скорости в системе Проектирование

векторного уравнения (4.28) на оси системы приводит к уравнению

Согласно сделанному в разд. 4.1 предположению на интервале дискретизации вектор не зависит от Поэтому на интервале дискретизации уравнение (4.29) является линейным и, следовательно, подчиняется принципу суперпозиции. Учитывая это, представим вектор в виде суммы

где решения следующих дифференциальных уравнений:

и

Начальное условие для исходного дифференциального уравнения (4.29) можно распределять между уравнениями (4.31а), (4.32а) произвольным образом. В дальнейшем начальное значение будем целиком относить к Такое распределение, как будет показано далее, исключает необходимость при реальных расчетах пересчитывать начальное значение земной скорости в координатную систему

Вектор интерпретируется как инерциальная (абсолютная) скорость машины, обусловленная действующими на нее негравитационными силами, а вектор -как инерциальная скорость, вызываемая гравитационной силой.

При численном решении уравнения (4.31) вместо сот и будут фигурировать показания чувствительных элементов Следовательно, присущая импульсным чувствительным элементам операция интегрирования [см. (4.1), (4.2)] будет эффективно использована.

Расчет вектора земной скорости в системе В [12] приведено уравнение, выражающее абсолютное ускорение машины через производную земной скорости в системе платформы и угловую скорость системы платформы. Используя принятые здесь обозначения и применяя вместо системы платформы навигационную (земную) систему можно это уравнение переписать в виде

Отсюда при учете формулы (4.26) получаем

Проектируя это уравнение на оси системы находим

Матрица вращения по структуре, совпадает с матрицей (4.17) и, поскольку имеет вид

Опять используя принятое в разд. 4.1 предположение о независимости в пределах периода дискретизации вектора от приходим к выводу, что дифференциальное уравнение (4.34) линейное и, следовательно, подчиняется принципу суперпозиции.

Следует заметить, что влияние вектора учитывалось бы проще, если вместо проектирования на оси векторное уравнение было бы спроектировано на оси географической системы Тогда отпала бы и необходимость пересчета результатов в систему Однако при использовании системы векторное уравнение (4.33) принимает вид

а в проекциях на оси системы

Здесь угловая скорость системы относительно земной системы Поскольку возникает благодаря движению машины со скорост, относительно земной системы, уравнение (4.36) содержит нелинейный член следовательно, к этому уравнению принцип суперпозиции неприменим. Но расщепление расчетной схемы основывается именно на использовании принципа суперпозиции, так что проектирование векторного уравнения следует производить на оси системы [см. (4.34)].

Применяя к уравнению (4.34) принцип суперпозиции, можно решение этого уравнения представить как

где соответственно решения дифференциальных уравнений

и

Входящие в эти уравнения векторы рассчитываются по формулам

Причины выбора начальных условий в виде (4.396), (4.406), (4.41), (4.42) будут объяснены далее. Вектор интерпретируется как земная скорость машины, обусловленная действием на нее негравитационных сил.

Ключевым положением рассматриваемой здесь расчетной схемы является то, что преобразование вектора инерциальной скорости в соответствующий вектор земной скорости в системе дает вектор Используя это положение, можно решать уравнение (4.31) относительно в быстром масштабе времени, уравнение (4.40) относительно в более медленном масштабе времени, а затем в еще более медленном масштабе преобразовывать складывая согласно получать искомый вектор

Преобразование Инерциальная скорость машины выражается через земную скорость уравнением

или при использовании указанных обозначений — уравнением

Представляя это уравнение в проекциях на оси системы получим

Уравнение (4.44) выражает правило преобразования земной скорости, записанной в системе в инерциальную скорость в этой же системе и наоборот. На основании этого уравнения при использовании упомянутого выше ключевого положения имеем

где получается из координатным преобразованием согласно формуле

Матрицу перехода можно получить, используя формулу

В этой формуле

Что касается матрицы то ее можно получить решением уравнения Пуассона (4.18), см. разд. 4.5.

Таким образом, из уравнений (4.45), (4.46) и (4.47) находим окончательное выражение для вычисления

Прибавляя к вектор получаем вектор Как уже отмечалось, вектор находится в результате решения уравнения (4.40). Но для решения этого уравнения требуется предварительно вычислить вектор

Расчет вектора Связь вектора ускорения силы тяжести с вектором ускорения земного тяготения (гравитационной силы) определяется векторным уравнением, имеющим в проекциях на оси системы вид

В уравнении (4.50) специально отмечено, что зависит от радиус-вектора действительного местоположения объекта, а не от или . В проекциях на оси географической системы вектор дается при малых значениях выражением [22]

где широта; высота объекта над уровнем моря; эксцентриситет референц-эллипсоида; радиус шара, равновеликого геоиду; ускорение силы тяжести на экваторе.

Вектор можно пересчитать в вектор при помощи матрицы перехода выражение которой согласно рис. 4.1

Вектор определяется уравнением

Рис. 4.1. Навигационная и географическая системы координат: К — долгота; широта которое при учете уравнений (4.38), (4.41), (4.42) принимает вид

Таким образом, все данные, необходимые для расчета по уравнению (4.50), имеются Как уже отмечалось, вектор рассчитывается каждый раз лишь для конца наибольшего периода дискретизации.

Начальные условия. Решение уравнения (4.34) получается как сумма решений уравнения (4.39а) и уравнения (4.40а). Поэтому при учете (4.41), (4.42) имеем

Каких-либо ограничений на распределение между не существует.

При решении уравнений (4.31а), (4.32а) начальное значение также можно распределять произвольно между Поскольку инерциальная скорость по уравнению (4.32а) все равно не рассчитывается (этот расчет заменяется расчетом по уравнению (4.40а) земной скорости соответствующей указанной инерциальной скорости), целесообразно целиком относить к т. е. выбирать Тогда при решении уравнения (4.45) не будет возникать необходимости пересчета земной скорости в скорость

Выбор дает согласно (4.49)

а поскольку было принято то Таким образом, начальное условие (4-396) обосновано.

Согласно уравнению (4.38)

Вектор может быть выражен через известную начальную скорость заданную в географической системе

Из уравненией (4.56), (4.57) получаем

И поскольку то

что и служит обоснованием начального условия (4.406).