9.5. РЕДУЦИРОВАННЫЙ ФИЛЬТР КАЛМАНА

Применение дискретного фильтра Калмана к системам большой размеренности требует большого объема памяти ЦВМ. Вместе с тем вектор состояния объекта может содержать компоненты, являющиеся наблюдаемыми по используемым измерениям. Отсюда вытекает целесообразность разделения полного вектора состояния на наблюдаемый вектор и ненаблюдаемый вектор Вектор будем называть вектором состояния, а вектор вектором смещения и далее проводить оценивание только компонент вектора Фильтр, который на основании математической модели для полного вектора состояния оценивает только некоторые компоненты вектора состояния (вектор называется редуцированным фильтром. Использование редуцированного фильтра, с одной стороны, позволяет осуществить развязку от ненаблюдаемых компонент (вектор полного вектора состояния с другой — упрощает вычислительную процедуру оценивания. Задача оценивания только части вектора состояния в известной мере обратна задаче учета неизвестного смещения (см. [12]). Действительно, в работе [12] рассматривался фильтр Шмидта, предназначенный для определения динамического смещения, не учтенного в структуре исходного фильтра. В настоящем разделе решается обратная задача, а именно, из полной структуры фильтра выделяется только часть, соответствующая компонентам вектора состояния, подлежащим оценке.

Рассмотрим систему

Разделим вектор на оцениваемый вектор состояния и неоцениваемый вектор смещения Тогда, разбивая матрицы на соответствующие блоки, получим уравнения системы в следующем виде:

Уравнение оптимального фильтра также может быть записано в блочной форме:

«Поэлементные» уравнения фильтра имеют вид

Полагаем далее, что оценке не подлежит вектор смещения т. е.

Тогда

где находится и выражений составляемых для полного вектора состояния

Запишем выражение априорной матрицы ошибок оценивания для полного фильтра в блочной форме, учитывая при этом разбиение вектора состояния на подвекторы Применяя для блочных элементов этой матрицы обозначения

где (вследствие получим

Блочные элементы оптимальной матрицы усиления имеют вид

а апостериорные ковариационные матрицы ошибок оценивания, необходимые на следующем шаге вычислений, имеют вид

Таким образом, уравнения (9.65) — (9.73) описывают редуцированный фильтр, оценивающий лишь вектор (часть полного вектора состояния Оценка даваемая редуцированным фильтром, уже не будет оптимальной, поскольку в структуре уравнения (9.65) оценка не учитывается. Следует отметить, что полный оптимальный фильтр [см. (9.63)] при оценке вектора учитывает и оценку Следовательно, редуцированный фильтр упрощает вычислительную процедуру, но при этом оценка становится субоптимальной.