ГЛАВА 5. УРАВНЕНИЯ ОШИБОК ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ

Настоящая глава посвящена выводу уравнений ошибок, допускаемых ИНС в определении навигационных параметров объекта, движущегося вблизи поверхности Земли. Рассматриваются как платформенные, так и бесплатформенные ИНС. Вывод уравнений ошибок ИНС основывается на введенном в работе [12] понятии «фиктивная платформа». Это понятие оказалось очень плодотворным как при трактовке причин возникновения ошибок ИНС, так и при выводе уравнений ошибок.

5.1. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ОШИБОК ПЛАТФОРМЕННОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ (ПИНС)

Местоположение объекта, характеризуемое долготой К и широтой (или, что то же самое, положение радиус-вектора в земной системе), любая ИНС определяет по существу интегрированием векторного уравнения

Это уравнение называется основным уравнением инерциальной навигации. По составляющим ускорения измеряемым акселерометрами, путем решения уравнения (5.1) ЦВМ должна определить радиус-вектор Я объекта. В дальнейшем принимаем, что все расчетные операции ЦВМ проводит совершенно точно.

Приборная реализация решения может быть самой разнообразной. Возможны как чисто аналитические (БИНС), так и полуаналитические (ИНС с гироплатформой) варианты. Как показывается далее, уравнения ошибок для этих вариантов по существу одинаковы. В настоящем разделе выводятся уравнения ошибок платформенной ИНС [12, 24, 30].

Введем в уравнение (5.1) согласно соотношению (4.50) вектор ускорения силы тяжести:

Имея в виду исследование устойчивости идеального (равновесного) режима работы ИНС, перейдем, как это принято в теории регулирования, к уравнению относительно малых отклонений (вариаций) координат от их значений в равновесном режиме. Варьируя уравнение (5.2), получим

Для идеального режима работы ИНС представляет собой счетно-решающий механизм, назначение которого — решение дифференциального уравнения (5.2) и выдача в результате решения данных о радиусе-векторе . Поэтому вариацию следует рассматривать не как перемещение объекта относительно земной системы, а как ошибку ИНС в вычислении. Эта ошибка порождается, например, отклонением системы платформы Оххуг от правильной системы координат приводящим к изменению показаний акселерометров и, следовательно, расчетных значений

Анализ ошибок существенно облегчается при использовании вычислительной системы координат т. е. системы, в расчете на которую составлен алгоритм работы ЦВМ. Для идеального (невозмущенного) режима работы такой системой является правильная система координат, которую в идеальном режиме воспроизводит система платформы. Для общего случая, включающего и

возмущенный режим работы, вычислительная система координат строится по данным, вырабатываемым и используемым ЦВМ.

Для ИНС, рассмотренной в разд. 1.7, начало вычислительной системы находится в точке земной поверхности, определяемой выработанными ИНС значениями оси Охув располагаются в плоскости местного (для точки горизонта и повернуты относительно осей географического трехгранника на угол выработанный ось направлена по вертикали в точке Расположение осей Охув в плоскости горизонта для точки продиктовано тем, что такое расположение осей предполагает алгоритм работы ЦВМ (при расчетах для идеального режима ЦВМ использует проекции скорости вращения Земли на оси правильной системы, которые всегда горизонтальны).

Для идеального режима работы начала и соответственные оси систем координат , (или совпадают. При возмущенном режиме (при наличии отклонений от идеального режима) начало систем координат и отклонено от начала системы а угловые положения этих систем рассогласованы.

В возмущенном режиме ЦВМ, по-прежнему выполняя алгоритм идеального режима работы, трактует сигналы с реальных акселерометров как сигналы, будто бы приходящие с акселерометров фиктивной платформы, начало и оси которой совпадают с началом и соответственными осями вычислительной системы Но акселерометры, с которых на самом деле поступают в ЦВМ сигналы, находятся под действием вектора ускорения силы тяжести другого направления, чем направление этого вектора для вычислительной системы координат.

Местоположение объекта, соответствующее вычисленным данным, ИНС трактует как истинное, а действительное местоположение объекта — как ошибочное. Принимая эту трактовку, при дальнейших выкладках будем тем не менее учитывать, что «истинное» местоположение характеризуется вектором , а «ошибочное» - вектором Таким образом, с точки зрения модели «фиктивная платформа», по которой реальная ЦВМ работает, ЦВМ допускает ошибку в учете действия ускорения силы тяжести

Выразим эту ошибку через вариацию Поскольку в первом приближении можно считать, что вектор направлен противоположно вектору имеем

где частота Шулера.

Варьируя уравнение (5.5), находим

Для сферической Земли ускорение силы тяжести над поверхностью Земли определяется формулой

где ускорение силы тяжести на уровне моря; радиус Земли.

Подставляем это значение в выражение частоты Шулера:

Отсюда или, полагая

где высота объекта над уровнем моря.

По подстановке этого выражения в уравнение (5.6)

С точки зрения упомянутой выше модели (ИНС с фиктивной платформой) правильными сигналами для ЦВМ являются сигналы, которые могли бы быть измерены акселерометрами фиктивной платформы. После кажущихся ускорений которые могли бы быть измерены акселерометрами фиктивной платформы отличается от поля кажущихся ускорений доступных измерению акселерометрами реальной платформы Это отличие обусловливается углом перекоса между системами Рассматривая как вектор - угол конечного вращения, переводящий вычислительную систему в систему платформы можно для малых значений записать (рис. 5.1)

Вместо составляющих правильного вектора ЦВМ в действительности получает составляющие вектора как показания реальных акселерометров. В возмущенном режиме доступный измерению вектор отличается от правильного вектора на величину вариации фигурирующей в уравнении (5.3). Согласно уравнению (5.8), эта вариация определяется выражением

Если учесть, что показания реальных акселерометров, помимо истинного значения измеряемой величины, содержат

Рис. 5.1. Векторы кажущегося ускорения в системах реальной и фиктивной платформ

инструментальные и случайные ошибки (при варьировании эти ошибки можно относить к вариациям внешних воздействий), то согласно уравнениям (5.7), (5.9), (5.3) векторное уравнение ошибок по положению будет

где В — упомянутые выше ошибки акселерометров.

Согласно принятой в гл. 1 точке зрения, для ИНС с горизонтируемой по местной вертикали гироплатформой правая часть уравнения ошибок (5.10) должна содержать только члены, зависящие от ускорения силы тяжести Негравитациюнные члены правой части (5.10) должны рассматриваться как воздействия, приложенные к цепи «идеальной работы». Тогда смещение акселерометров В и составляющие вектора не зависящие от ускорения силы тяжести следовало бы отнести к возмущениям, действующим на цепь «идеальной работы». Однако, как будет показано далее, этот подход эквивалентен непосредственному учету негравитационных возмущений в уравнении ошибок (5.10), так что уравнение (5.10) можно оставить без изменения.

Запишем это уравнение в правильной системе вращающейся относительно инерциальной системы со скоростью При этом точками отмечаем дифференцирование в правильной системе:

Сумму двух членов левой части, выделенных подчеркиванием, можно преобразовать к виду

Учитывая это, приходим к окончательной форме векторного уравнения ошибок ИНС по положению:

Рис. 5.2. Составляющие вектора

Составим теперь уравнение для ошибки ориентации гироплатформы постоянно реализуя алгоритм невозмущенного режима работы ИНС, вырабатывает сигнал предназначенный для такого вращения фиктивной гироплатформы, при котором она оставалась бы совпадающей с вычислительной системой координат Другими словами, ЦВМ вырабатывает абсолютную угловую скорость вычислительной системы координат Но в действительности сигнал поступает с ЦВМ на моментные датчики реальной гироплатформы, которая в возмущенном режиме перекошена относительно вычислительной системы на угол

При идеальных гироскопах и цепях усиления реальная гироплатформа прецессирует со скоростью по модулю равной Однако вследствие перекоса вектор отклонен от вектора на угол (рис. 5.2). Раскладывая вектор на параллельную и перпендикулярную составляющие и вводя вектор угла перекоса, находим, что вызываемая сигналом прецессия реальной гироплатформы

Кроме угловой скорости создаваемой поступающим с ЦВМ управляющим сигналом, реальная гироплатформа имеет еще скорость обусловливаемую ее неидеальностью, например, дрейфом гироскопов. Учитывая эту скорость, получим

Поскольку угол отклонения системы от системы справедливо также равенство

где производная относительно вычислительной системы (локальная производная).

Подставляя выражение (5.14) в уравнение (5.13), получим

откуда непосредственно следует

где производная вектора в инерциальной системе.

Выражая производную в правильной системе (или получим окончательное векторное уравнение ошибки ориентации платформы

В этом уравнении производная вектора относительно правильной системы; — абсолютная угловая скорость правильной системы.

Уравнения (5.11) и (5.16) образуют систему векторных уравнений, описывающих ошибки платформенной ИНС. Запишем эти уравнения в скалярной форме, а именно, в отношении проекций на оси правильной системы. Отмечая индексами 1, 2, 3 проекции векторов на правильной системы, а проекции на эти оси обозначая через согласно векторным уравнениям (5.11), (5.16) получим следующие уравнения ошибок платформенной ИНС в проекциях на оси правильной системы:

Если бы следовать принятой в гл. 1 точке зрения, то в правых частях уравнений (5.17), (5.18) вместо сумм надо оставлять лишь члены учитывающие действие вертикальной составляющей кажущегося ускорения которая играет ту же роль, что и вектор ускорения силы тяжести. Что касается негравитационных ускорений и смещений акселерометров то они трансформировались бы цепью «идеальной работы» в отклонения платформы 62, 61 от местной вертикали и эти отклонения образовывали бы возмущающие члены в правых частях уравнений (5.17), (5.18). Например, для ИНС

Рис. 5.3. Структурная схема северного канала ИНС с ориентируемой по странам света гиростабилизированной платформой

с ориентируемой по странам гироплатформой отклонение определяется формулой (см. рис. 1.9)

Как уже отмечалось, в этом случае результаты получались бы те же самые, что и при непосредственном учете в уравнениях ошибок негравитационных возмущений [см. (5.17), (5.18)]. Действительно, согласно предложенному в гл. 1 подходу постоянное смещение показаний акселерометра В, проходя по цепи «идеальной работы», вызывает отклонение вертикали это отклонение, будучи входным сигналом замкнутой системы ошибок, вызывает баллистическую ошибку в вырабатываемых ИНС данных о географической широте [см. рис. 1.9 и уравнение (1.21)].

Вместо приложения к цепи «идеальной работы» смещение В рассматриваем теперь как возмущение, приложенное к замкнутой системе ошибок в точке, где имеет место ошибка по ускорению 6V (рис. 5.3). Вычислим ошибку в вырабатываемых данных о широте, допускаемую ИНС вследствие постоянного смещения акселерометра В. Согласно показанной на рис. 5.3 структурной схеме

и поскольку установившееся значение (статистическая ошибка)

Эта ошибка такая же, как и упоминавшаяся ранее баллистическая ошибка полученная при использовании предложенноного в гл. 1 подхода. Одинаковость результатов будет и при другом виде негравитационных сил и объясняется тем, что показанная на рис. 1.9 структурная схема может быть получена структурными преобразованиями схемы, изображенной на рис. 5.3.

Таким образом, ошибки платформенной ИНС можно описывать уравнениями (5.17) — (5.22). Как уже отмечалось, в этих уравнениях — угловая скорость правильной системы соответственно относительно земной и инерциальной систем; проекции вектора угла отклонения системы платформы от вычислительной системы на оси правильной системы; скорости изменения этих проекций; длина радиус-вектора, определяющего положение объекта.

Уравнения (5.17) — (5.22) являются общими уравнениями ошибок, т. е. относятся к любой ИНС, содержащей горизонтируемую по местной вертикали гироплатформу. Положив в уравнении можно видеть, что вертикальный канал ИНС, к которому это уравнение относится, неустойчив. Горизонтальные каналы (5.17), (5.18) находятся на колебательной границе устойчивости, т. е. нейтральны.