5.4. УРАВНЕНИЯ ОШИБОК БЕСПЛАТФОРМЕННОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ (БИНС)

При выводе уравнений ошибок БИНС требуется уравнение, являющееся обобщением уравнения Пуассона (4.18). Уравнение (4.18) позволяет вычислить матрицу направляющих косинусов осей подвижной системы в неподвижной (инерциальной) системе по известной абсолютной угловой скорости подвижной системы, в то время как обобщенное уравнение Пуассона дает возможность вычислить матрицу направляющих косинусов одной подвижной системы по отношению к другой.

Обобщенное уравнение можно вывести из уравнения (4.18). Пусть подвижные координатные системы, неподвижная (инерциальная) система. Согласно уравнению (4.18) можно записать

где кососимметричные матрицы вращения вида (4.17), элементами которых служат проекции вектора абсолютной угловой скорости (угловой скорости относительно системы подвижной системы координат на оси этой системы координат.

Как показывает уравнение (4.6), матрица вращения системы относительно системы имеет вид

При использовании примененного здесь двойного индекса фигурирующие в (5.44) матрицы записываются как Поскольку, однако, система инерциальная, второй индекс становится излишним, если трактовать матрицу с одним индексом как матрицу вращения отмеченной этим же индексом системы по отношению к инерциальной системе координат.

Представим матрицу перехода в виде

Продифференцировав это выражение по времени, находим

По введении между сомножителями единичных матриц это уравнение сводится к виду

или при учете выражений (5.44)

Поскольку матрица вращения кососимметричная так что уравнение (5.47) окончательно принимает вид

Это обобщенное уравнение Пуассона позволяет определять матрицу перехода от подвижной системы к подвижной системе по абсолютным угловым скоростям этих подвижных систем и по начальным условиям

Как и в случае платформенной ИНС, начнем с вывода уравнений ошибок БИНС по положению. Рассуждения, приведенные в разд. 5.1 в связи с выводом этих уравнений для платформенной ИНС, с небольшими добавлениями применимы и к БИНС. Именно, вместо понятия фиктивная платформа следует использовать понятие фиктивный объект, трактуя его как объект, находящийся в точке земной поверхности, координаты которой вычислены ЦВМ. Тогда при сферической модели Земли вариации определяются соответственно выражениями (5.7) и (5.9), а векторное уравнение ошибок БИНС по положению совпадает с уравнением (5.11).

Обратимся теперь к выводу векторного уравнения ошибок ориентации вычислительной системы координат БИНС [32]. Помимо использованных в гл. 4 инерциальной навигационной (земной) географической и связанной с машиной (объектом) систем координат введем в рассмотрение вычислительную В и «платформенную» системы координат. Хотя реальной гироплатформы в БИНС нет, можно представить «аналитическую платформу», которая может отклоняться от правильной системы Для БИНС в качестве правильной системы принимается географический трехгранник Под вычислительной, как и раньше, будем понимать систему с началом в точке земной поверхности, долгота и широта которой соответствует данным, вырабатываемым БИНС, а направления осей совпадают с направлениями осей правильной системы для этой же точки.

В основе алгоритма БИНС лежит пересчет данных, измеренных в системе объекта в правильную систему Этот пересчет возможен, когда матрица перехода известна. Матрицу можно найти по обобщенному уравнению Пуассона (5.48), принимающему в данном случае вид.

При решении уравнения использует угловые скорости (элементы матрицы содержащие ошибки. Вместо точных значений в ЦВМ поступают данные представляющие собой выходные сигналы связанных с объектом гироскопов. В этих данных содержатся дрейфы гироскопов так что, вводя кососимметричную матрицу

аналогичную по структуре матрице (4.17), получим следующее выражение матрицы вращения, действительно используемой в ЦВМ,

Рис. 5.5. Вычислительная и платформенная системы координат

Что касается фигурирующей в уравнении (5.59) матрицы то вместо нее ЦВМ использует матрицу соответствующую угловой скорости вычислительной системы. Таким образом, по уравнению (5.59) ЦВМ в действительности вычисляет матрицу перехода , от системы объекта к системе «аналитической платформы» отличающуюся от требуемой матрицы

Таким образом, реализация алгоритма БИНС предусматривает определение навигационных параметров по проекциям векторов на оси системы и то вместо этих проекций реально используются проекции векторов на оси вычислительной системы В. Переход при реальных расчетах от системы к системе В обусловливает матрицу ошибок

зависящую от перекоса системы относительно системы В.

Представим входящую в уравнение (5.63) матрицу в виде

При малых значениях ошибок можно систему считать близкой к системе В, что позволяет выразить матрицу следующим образом. Пусть система перекошена относительно системы В на малый угол (рис. 5.5). Тогда положение системы в системе можно задать углами Эйлера величина которых мала. Как видно из рис. 5.5, матрица

а искомая матрица перехода

где I — единичная матрица, а матрица вида (4.17), соответствующая вектору-углу

Подставляя выражения (5.64), (5.65) в уравнение (5.63), получим

Матрица перехода удовлетворяет обобщенному уравнению Пуассона

Подставляя в это уравнение выражения (5.61) и (5.63), находим

Если в уравнении (5.68) учесть уравнение (5.62), то после пренебрежения членами второго порядка малости приходим к уравнению

Но дифференцированием по времени уравнения (5.66) можно получить другое выражение

По подстановке из уравнения (5.62) это выражение примет вид

Подставим теперь в левую часть уравнения (5.69) вместо выражение (5.71), а в правую — вместо выражение (5.66):

По умножении этого уравнения слева на , получим

При помощи непосредственных вычислений можно убедиться в справедливости равенства

где правая часть — кососимметричная матрица вида (4.17), соответствующая матрице-столбцу Матрицы кососимметричные, вследствие чего

Подставляя выражение (5.74) в уравнение (5.73), получим в левой части сумму двух последних членов уравнения (5.72), взятую с обратным знаком. Поэтому уравнение (5.72) можно записать в виде

Непосредственной проверкой можно убедиться, что кососимметричная матрица, соответствующая вектору (матрице-столбцу) Таким образом, все члены уравнения (5.75) — кососимметричные матрицы. Переходя от этих матриц к соответствующим им матрицам-столбцам, получим

Если матрицу [см. (5.65)] транспортировать и затем представить как сумму единичной и кососимметричной матриц, то получим

Умножая уравнение (5.64) слева на и учитывая выражение (5.77), будем иметь

Подставив это выражение в уравнение (5.76), найдем

Последний член правой части

— бесконечно малая второго порядка малости и им можно пренебречь. Тогда уравнение (5.79) примет вид

Поскольку — производная вектора относительно системы В, а векторное произведение в проекциях на оси системы В, можно уравнение (5.81) записать в следующей форме:

Здесь производная по времени вектора-угла относительно инерциальной системы вектор дрейфа гироскопов БИНС.

В качестве окончательного векторного уравнения ошибок ориентации примем запись уравнения (5.82) в правильной системе

Здесь вектор-угол отклонения системы «аналитической платформы» от вычислительной системы сор — вектор угловой скорости правильной системы относительно инерциальной системы вектор, проекциями которого на оси системы объекта служат скорости дрейфа гироскопов БИНС.

Рис. 5.6. Структурная схема северного канала БИНС