9.3. НОВЫЙ АДАПТИВНЫЙ ФИЛЬТР С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ОБНОВЛЯЕМОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

В этой работе предлагается новый алгоритм адаптивного фильтра, отличающийся от фильтра Язвинского тем, что, как и в обычном фильтре Калмана, дает оценку вектора состояния в один такт с проведением измерений, а также тем, что в этом алгоритме не содержится операция псевдообращения матриц.

Ковариационная матрица обновляемой последовательности имеет вид

Следовательно, использование в алгоритме для формирования матрицы усиления К, как это будет сделано в предлагаемом фильтре, приносит информацию как о ковариационной матрице входного шума так и о ковариационной матрице измерительного шума

Если использовать всю информацию, содержащуюся в а синтезируемый алгоритм не связывать с необходимостью выделения матрицы из обновляемой последовательности, то упомянутые выше (фильтр Язвинского) трудности не возникнут.

Перейдем к изложению вывода алгоритма предлагаемого здесь адаптивного фильтра.

Уравнения обычного фильтра Калмана имеют вид (см. разд. 8.2)

Дискретная обновляемая последовательность имеет ковариационную матрицу

Обращаясь к последовательности определим ее ковариационную матрицу:

Подставляя вместо соответственно выражения (9.23) и (9.26), получаем

Так как по определению матрицы симметричные, то

Следовательно, выражение (9.28) можно представить в следующей форме:

Перепишем теперь уравнение (9.25) в виде

и подставим полученное выражение в уравнение (9.29):

Отсюда находим

Если объект стационарный и шумы также стационарны, то по завершении переходного процесса матрицы принимают постоянное значение. Для установившегося режима справедливо выражение

Следовательно, для установившегося режима уравнение (9.30) можно записать в виде

или в виде

Отличие уравнения (9.31) от уравнения (9.32) состоит в том, что оно предусматривает вычисление по текущим значениям априорной матрицы для последующего такта, тогда как с помощью уравнения (9.32) по текущему значению определяется для этого же такта вычислений. Более подробное сравнение фильтров, в которых использованы соответственно уравнения (9.31) и (9.32), будет произведено ниже.

Уравнения (9.31) и (9.32) можно использовать и для нестационарного объекта. Действительно, единственное ограничение применимости предлагаемого фильтра для нестационарных систем — это выполнение или равенства или равенств Но эти равенства можно практически обеспечить, выбирая достаточно малый период дискретизации.

Адаптивный алгоритм фильтрации (в двух вариантах) получаем из обычного алгоритма фильтра Калмана, заменяя уравнение (9.24) или уравнением (9.31), или уравнением (9.32).

Таким образом, предлагаемый здесь адаптивный субоптимальный фильтр описывается уравнениями (9.21), (9.22), (9.23), (9.25), -первый вариант или уравнениями (9.21), (9.22), (9.23), (9.25), (9.32) — второй вариант.

Введение в алгоритм фильтрации уравнения (9.31) или (9.32) обеспечивает «привязку» теоретической ковариационной матрицы к реальным значениям через член

Существенным недостатком обычного фильтра Калмана является как раз оторванность процесса вычисления матрицы усиления от реальных измерений. Вся процедура вычисления [(9.23) - (9.25)] матрицы основана на априорных данных о матрицах Поэтому любая неточность в знании этих матриц приводит к искажению оценки что может вызвать расходимость процесса фильтрации [12, 19].

Матрица определяет вес, с которым текущие измерения входят в оценку При определении матрицы согласно предлагаемому алгоритму используется информация о реальной матрице ошибок оценивания, что устраняет жесткую зависимость матрицы от априорных данных. Таким образом, предлагаемый алгоритм является грубым, т. е. малочувствительным к изменению априорных данных [23, 27]. Заметим также, что применение уравнения (9.31) или (9.32) вместо уравнения (9.24) освобождает от необходимости знания ковариационной матрицы входного шума

В уравнениях (9.31) и (9.32) присутствует ковариационная матрица обновляемой последовательности Определим такое значение при котором плотность вероятности максимальна, т. е. найдем

Поскольку процесс гауссов, плотность вероятности может быть представлена в виде [23]

Продифференцируем Но прежде введем определение производной скалярной функции по матрице.

Рассмотрим скаляр являющийся функцией некоторой матрицы X размера Градиент по X определяется следующим образом:

Соотношения, выражающие свойства градиента, получаются путем трудоемкого ручного дифференцирования при

использовании определения (9.33). Поэтому приведем эти соотношения без вывода [6]:

где симметричные матрицы; обозначение следа. Учитывая выражения (9.34) и (9.35), а также соотношение

продифференцируем по и приравняем результат нулю:

Отсюда

Подставим в уравнения (9.31) и (9.32) вместо матрицы значение максимизирующее плотность вероятности вектора Тогда соответственно получим

Таким образом, предлагаемый алгоритм (его назовем адаптивным фильтром 1-й модификации) выражается уравнениями (9.21), (9.22), (9.23), (9.25), (9.37) (первый вариант) или уравнениями (9.21), (9.22), (9.23), (9.25), (9.38) (второй вариант).

Условие получено для некоторого фиксированного момента времени Поэтому использование в вычислении для последующего момента [формула (9.37)] в принципиальном отношении менее правильно, чем вычисление по формуле (9.38) для текущего момента Для стационарных систем использование уравнения (9.37) или уравнения (9.38) имеет одинаковый смысл, поскольку

Для нестационарных систем разница в использовании уравнений (9.37) или (9.38) также незначительна, поскольку уровень в соседних тактах приблизительно одинаков.

Необходимо отметить, что основным недостатком предложенного алгоритма является отсутствие в уравнении для априорной ковариационной матрицы ошибок оценивания [см. (9.37), (9.38)] информации о матрице перехода Это приводит к тому, что матрица усиления фильтра К строится только на основе текущих измерений при этом не учитываются особенности конкретной системы через матрицу

В том случае, если некоторые компоненты вектора состояния по текущим измерениям наблюдаются слабо, вырабатывание элементов матрицы К, которые соответствуют этим компонентам, будет осуществляться со значительной погрешностью. Чтобы избежать этого недостатка, необходимо при выборе матрицы учесть особенности конкретной системы (информацию о матрице см. разд. 10.4).

Еще одним недостатком предложенного алгоритма является требование точной априорной информации о ковариационной матрице измерительного шума