Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 6.7. Формула Коши
Пусть функция 
аналитическая в односвязной
замкнутой области 
(
), с кусочно-гладкой границей 
, ориентированной в
положительном направлении (рис. 142), т. е. против часовой стрелки. Тогда имеет
место формула Коши
,
где
- любая
точка внутри контура .
Таким образом, аналитическую
функцию достаточно определить на контуре , а по формуле (1) можно автоматически
получить ее значения в других точках 
.
Для доказательства формулы (1)
рассмотрим функцию
. (2)
Опишем около точки окружность 
(см. рис. 142),
ориентированную положительно, достаточно малого радиуса 
. Функция 
определена и
непрерывна на за
исключением точки , в которой ее предел равен производной
от 
в :
.
Рис. 142
Поэтому, если доопределить
функцию 
в
при помощи
равенства 
,
то она окажется определенной, непрерывной и ограниченной на :
,
.
К тому же функция аналитична на
множестве, ограниченном контурами 
и и по теореме 3 § 6.6
.
Но правая часть этого равенства
стремится при 
к
нулю:
,
а левая не зависит от . Поэтому
Так как (см. (10) § 6.6)
,
формула
Коши доказана.
Формула Коши имеет место и для
многосвязной области и доказательство ее может быть сведено к уже доказанной
формуле Коши для односвязной области.
На рис. 143 изображена двусвязная
область с
положительно ориентированной границей , состоящей из двух замкнутых
соответственно ориентированных контуров 
.
Рис.
143
Рис. 144
Пусть - произвольная точка . Соединим контуры 
и 
кусочно-гладкой
кривой ,
ориентированной от и , не проходящей через точку . Наряду с кривой вводим совпадающую
с ней кривую 
,
но ориентированную противоположно.
Если из выкинуть , то оставшаяся
область 
будет
односвязной с положительно ориентированной границей:
.
Функция аналитическая, на 
и 
. Поэтому на
основании теоремы Коши для односвязной области
,
потому
что 
.
Пример. Вычислить интеграл
,
где
-
ориентированный против часовой стрелки контур, содержащий в себе точку 
(рис. 144) и
такой, что точка 
находится
вне него. Запишем наш интеграл в виде
и
рассмотрим функцию 
. В силу наших предположений о контуре
эта
функция аналитична в замкнутой области, ограниченной контуром , поэтому по
формуле Коши
.
