Раздел 11. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НЕЧЕТКИХ СИСТЕМ

Понятие нечетких множеств (ант.: fuzzy sets) как обобщение обычных (четких) множеств было введено Л. Заде в 1965 г. [177, 178]. Традиционный способ представления элемента множества А состоит в применении характеристической функции которая равна 1, если этот элемент принадлежит к множеству А, или равна 0 в противном случае. В нечетких системах элемент может частично принадлежать к любому множеству. Степень принадлежности к множеству А, представляющая собой обобщение характеристической функции, называется функцией принадлежности причем Значения функции принадлежности являются рациональными числами из интервала [0, 1], где 0 означает отсутствие принадлежности к множеству, полную принадлежность. Конкретное значение функции принадлежности называется степенью или коэффициентом принадлежности. Эта степень может быть определена явным образом в виде функциональной зависимости (например, либо дискретно - путем задания конечной последовательности значений в виде

Например, для последовательности дискретных значений переменной х, равных их коэффициент принадлежности к числам, близким 10, может быть определен в виде

В теории нечетких множеств, помимо переменных цифрового типа, существуют лингвистические переменные с приписываемыми им значениями. Пусть переменная х обозначает температуру (х = "температура"). Можно определить нечеткие множества "отрицательная", "близкая к нулю", "положительная", характеризуемые функциями принадлежности . Так же как обычная переменная может принимать различные значения, лингвистическая переменная "температура" может принимать различные

лингвистические значения. В нашем примере это: "отрицательная", "близкая к нулю" и "положительная". Следовательно, лингвистическое выражение может иметь вид: "температура отрицательная", "температура, близкая к нулю", "температура положительная".

На рис. 11.1 приведена графическая иллюстрация функции принадлежности переменной (где Т означает температуру) для трех названных множеств значений температуры. Непрерывными линиями обозначена классическая (точная) принадлежность, а пунктирными линиями - нечеткая принадлежность. Можно отметить, что функция нечеткой принадлежности является непрерывным приближением пороговой функции точной принадлежности.

Рис. 11.1. Иллюстрация понятия принадлежности температуры к области отрицательной, близкой к нулю либо положительной (пунктирные линии — нечеткая система, сплошные линии - точная система)

Каждое нечеткое множество имеет определенный носитель (англ.: support). Носителем множества является подмножество тех элементов А, для которых коэффициент принадлежности к А не равен нулю, т.е. . В приведенном выше примере на рис. 11.1 носителем множества "близкая к нулю" является множество температур в интервале от -4°С до +4°С.

Два множества равны между собой, когда для каждого элемента обоих множеств. Кардинальное число нечеткого множества А равно сумме коэффициентов принадлежности всех элементов к этому множеству, Это обобщение аналогичного понятия, относящегося к обычным множествам, для которых кардинальное число равно сумме элементов множества. Нечеткое множество является нормальным, если хотя бы один элемент этого множества имеет коэффициент принадлежности, равный 1. Сечение а нечеткого множества А образуется подмножеством

содержащим те элементы множества А, для которых (слабое сечение) или (сильное сечение), причем