Раздел 12. НЕЧЕТКИЕ НЕЙРОННЫЕ СЕТИ

Представленные в предыдущем разделе модели вывода Мамдани-Заде и TSK позволяют описать выходной сигнал многомерного процесса как нелинейную функцию входных переменных и параметров нечеткой системы (формула (11.34) в модели Мамдани-Заде и (11.43) в модели TSK). В литературе [67, 160] отмечается, что эти выражения позволяют аппроксимировать с произвольной точностью любую нелинейную функцию многих переменных суммой нечетких функций одной переменной. Формулы (11.34) и (11.43) имеют модульную структуру, идеально подходящую для системного представления в виде равномерной многослойной структуры, напоминающей структуру классических нейронных сетей. В дальнейшем мы будем называть их нечеткими нейронными сетями (англ.: neurofuzzy networks). Характерной особенностью этих сетей является возможность использования нечетких правил вывода для расчета выходного сигнала. В отличие от классических нечетких систем (англ.: fuzzy logic) в них вместо непосредственного расчета уровня активации конкретных правил вывода выполняется адаптивный подбор параметров функции фуззификации. Мы обсудим структуру таких сетей, а также алгоритмы обучения, способные адаптировать и линейные веса (аналогично тому, как это производилось в классических сетях), и параметры нечетких функций фуззификатора (аналогично параметрам гауссовской функции в сетях RBF).

12.1. Структура нечеткой сети TSK

Обобщенную схему вывода в модели TSK при использовании М правил и N переменных можно представить в виде

Условие реализуется функцией фуззифнкации, которая представляется обобщенной функцией Гаусса отдельно для каждой переменной

где представляет оператор . В нечетких сетях целесообразно задавать это условие в форме алгебраического произведения, из которой следует, что для правила вывода

При М правилах вывода агрегирование выходного результата сети производится по формуле (11.43), которую можно представить в виде

где Присутствующие в этом выражении веса интерпретируются как значимость компонентов определенных формулой (12.3). При этом условии формуле (12.4) можно сопоставить многослойную структуру сети, изображенную на рис. 12.1. В такой сети выделяется пять слоев.

• Первый слой выполняет раздельную фуззификацию каждой переменной определяя для каждого правила вывода значение коэффициента принадлежности в соответствии с применяемой функцией фуззифнкации (например, Это параметрический слой с параметрами подлежащими адаптации в процессе обучения.

• Второй слой выполняет агрегирование отдельных переменных определяя результирующее значение коэффициента принадлежности вектора (уровень активации правила вывода) в соответствии с формулой (12.3). Это слой непараметрический.

• Третий слой представляет собой генератор функции TSK, рассчитывающий значения . В этом слое также производится умножение сигналов на значения сформированные в предыдущем слое. Это параметрический слой, в котором адаптации подлежат линейные веса для определяющие функцию следствия модели TSK.

• Четвертый слой составляют два нейрона-сумматора, один из которых рассчитывает взвешенную сумму сигналов у к а второй определяет сумму весов Это непараметрический слой.

Рис. 12.1. (см. скан) Структура нечеткой нейронной сети TSK

• Последний, пятый слой, состоящий из единственного выходного нейрона, - это нормализующий слой, в котором веса подвергаются нормализации в соответствии с формулой (12.4). Выходной сигнал определяется выражением, соответствующим зависимости (11.43),

Это также непараметрический слой.

Из приведенного описания следует, что нечеткая сеть TSK содержит только два параметрических слоя (первый и третий), параметры которых уточняются в процессе обучения. Параметры первого слоя будем называть нелинейными параметрами, поскольку они относятся к нелинейной функции (12.2), а параметры третьего слоя - линейными весами, так как они относятся к параметрам линейной функции TSK.

При уточнении функциональной зависимости (12.4) для сети TSK получаем:

Если принять, что в конкретный момент времени параметры условия зафиксированы, то функция является линейной относительно переменных

При наличии входных переменных каждое правило формирует переменных линейной зависимости TSK. При М правилах вывода это дает линейных параметров сети. В свою очередь, каждая функция принадлежности использует три параметра подлежащих адаптации. Если принять, что каждая переменная х, характеризуется собственной функцией принадлежности, то при М правилах вывода мы получим 3MN нелинейных параметров. В сумме это дает линейных и нелинейных параметров, значения которых должны подбираться в процессе обучения сети.

На практике для уменьшения количества адаптируемых параметров оперируют меньшим количеством независимых функций принадлежности для отдельных переменных, руководствуясь правилами, в которых комбинируются функции принадлежности различных переменных. Если принять, что каждая переменная имеет различных функций принадлежности, то максимальное количество правил, которые можно создать при их комбинировании, составит: (при трех функциях принадлежности, распространяющихся на две переменные, это правил вывода). Таким образом суммарное количество нелинейных параметров сети при М правилах вывода уменьшается с в общем случае до Количество линейных параметров при подобной модификации остается без изменений, т.е.