11.1. Операции на нечетких множествах
На нечетких множествах, рассматриваемых как обобщение обычных множеств, можно определить ряд математических операций, являющихся обобщением аналогичных операций, выполняемых на "четких" множествах. К ним среди прочих относятся:
1. Логическая сумма множеств 
где знак и обозначает оператор 
ПРИМЕР 11.1
Пусть даны два нечетких множества А и В, определенные следующим образом:
Логическая сумма этих множеств 
и В равна:
2. Логическое произведение множеств 
где знак 
обозначает оператор 
Для данных из примера 11.1 множество С, являющееся логическим произведением множеств А и В, будет иметь вид
3. Отрицание множества А
В отличие от обычных (четких) множеств, где отрицание элементов, принадлежащих к множеству, дает пустое множество, отрицание нечеткого множества определяет непустое множество, состоящее из элементов, функции принадлежности которых также определены на интервале [0,1].
4. Равенство множеств А и В
Нечеткие множества 
равны между собой, когда для всех элементов 
обоих множеств выполняется условие На 
5. Операция концентрации 
Эта операция весьма часто выполняется при действиях с лингвистической переменной, в которых она отождествляется с интенсификатором "очень".
6. Операция растяжения 
Лингвистическое значение этой операции формулируется как "примерно" либо "приблизительно".
7. Алгебраическое произведение двух множеств А В
8. Ограниченная сумма двух нечетких множеств 
9. Ограниченная разница двух нечетких множеств 
10. Ограниченное произведение двух нечетких множеств 
11. Нормализация множества 
Следует отметить, что множество А считается подмножеством множества В, т. е. А с В, когда для всех элементов выполняется неравенство На 
Например, если 
то 
Определенные на нечетких множествах операции обладают свойствами ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности, причем эти свойства понимаются следующим образом:
• ассоциативность: 
коммутативность: 
(за исключением ограниченной разности);
• дистрибутивность: 
где операторы и 
обозначают любую определенную выше операцию на нечетких множествах. Из свойств нечетких множеств следует, что в отличие от произведения обычных множеств логическое произведение множества и его
отрицание не обязательно образуют пустое множество, что можно записать в виде
Точно так же и логическая сумма нечеткого множества А и его отрицание не образуют полное множество 
что можно записать в виде
