9.3.6. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПИСАНИЯ ФОРМЫ

До сих пор мы рассмотрели несколько способов, с помощью которых произвольный объект может быть, по крайней мере в принципе, представлен точно. Наиболее прямое из таких представлений просто указывает для каждой точки на плоскости изображения принадлежит ли эта точка объекту. Такое представление называется характеристической функцией объекта; характеристическая функция равна нулю в точках вне объекта и единице в точках внутри него. Очевидно, что характеристическая функция представляет собой обычную

функцию интенсивности принимающую значения только нуль или единица. Другой вариант точного представления объекта может быть основан на его естественном уравнении которое задает кривизну границы k как функцию длины дуги s, измеряемой от некоторой произвольной граничной точки. Эти полные описания объекта противоречат нашему замечанию о том, что описание должно быть проще, чем сам описываемый объект. Однако можно использовать различные математические методы, чтобы как-то аппроксимировать эти полные описания и таким путем получить более простые их формы. Обычный подход заключается в разложении точного представления в ряд и в последующем использовании только нескольких первых членов ряда. Коэффициенты при этих членах и составляют описание объекта.

Укажем сразу же один возможный вариант описания, который не работает. Мы можем по наивности разложить характеристическую функцию объекта в ряд Тейлора в некоторой точке сожалению, ряд не сходится к функции . В самом деле, для всех точек величина разложения должна быть либо нуль, либо единица в зависимости от того, находится точка внутри объекта или снаружи. Вся беда в том, что характеристическая функция существенно разрывна на границе объекта. В следующих разделах мы будем обсуждать два метода, позволяющие обойти эту трудность. Первый основан на разложении в ряд естественной функции объекта; второй тесно связан с ее спектром Фурье.

9.3.6.1. Разложение естественной функции

Оперируя с естественной функцией объекта, мы неявно принимаем, что объект не имеет дыр и состоит только из одной связной компоненты. Если объект содержит более чем одну компоненту, мы используем столько естественных функций, сколько имеется компонент. Все дыры объекта игнорируются (хотя мы можем использовать естественную функцию границы дыры). В данный момент важным для наших целей свойством естественной функции любого объекта является ее периодичность. Начиная с произвольной граничной точки, функция определяет кривизну границы в зависимости от длины дуги 2). Если длина границы объекта равна L, легко видеть, что равенство всегда имеет место независимо от выбора начальной точки. Следовательно, удобной формой представления естественной функции является ряд Фурье. А именно

мы можем записать функцию в виде

где коэффициенты определяются формулой

Для произвольного заданного объекта можно вычислить несколько первых коэффициентов разложения. Эти коэффициенты и составят описание объекта. Если граница не содержит резких разрывов кривизны, то даже несколько членов ряда Фурье обеспечивают хорошую аппроксимацию, и, следовательно, эти коэффициенты оказываются весьма информативными.

Рис. 9.26. Аппроксимация с помощью ряда Фурье, а) — исходные объекты, б) — пять гармоник, в) — десять гармоник, г) — пятнадцать гармоник (из книги Брилла, 1969; воспроизводится с разрешения автора).

Отвлечемся на короткое время и рассмотрим потенциальные трудности, связанные с применением естественной функции. Если в некоторой точке граница мгновенно изменяет направление, то кривизна в этой точке не определена. Для прямоугольника, например, естественная функция тождественно равна нулю всюду, кроме четырех точек; в этих точках функция принимает бесконечное значение.

Чтобы избавиться от этого, мы определим новую «естественную функцию» как интеграл от старой; это значит, что мы описываем объект функцией, которая задает тангенс угла наклона границы в зависимости от длины дуги. Формальным определением новой функции служит выражение

При этом, однако, возникает новая трудность: функция непериодическая, поскольку Нетрудно, однако, показать,

что функция периодическая с периодом L, и поэтому ее можно разложить в ряд Фурье. Мы можем записать еще одну модификацию нашей функции. Заметим, что среднее значение величины зависит от выбора начальной точки границы. Следовательно, естественно ликвидировать эту зависимость вычитанием среднего. В соответствии с этим мы определим угловую естественную функцию выражением

где

Эффект от аппроксимации угловой естественной функции усеченным рядом Фурье иллюстрируется рис. 9.26, а-9.26, г . На рис. 9.26, а показан набор из пяти цифр. На рис. 9.26, б - 9.26, г показаны границы, полученные после аппроксимации угловой естественной функции посредством соответственно 5, 10 и 15 членов ряда Фурье. Ясно, что для описания границ с приемлемой точностью достаточно даже небольшого числа членов ряда.

9.3.6.2. Аппроксимация посредством моментов

Пусть дана произвольная функция интенсивности тогда момент порядка функции g определяется формулой

(Поскольку мы определили моменты для произвольных функций интенсивности, то все последующее тем более справедливо для характеристической функции объекта.) Если функция интенсивности g является достаточно «хорошей» с математической точки зрения, что справедливо для всех физически реализуемых функций интенсивности, то множество моментов обладает свойством фундаментальной важности: моменты определяют единственным образом функцию интенсивности g и единственным образом определяются ею. Таким образом, двойной ряд моментов дает полное описание объекта, а частичное описание объекта можно получить, используя некоторое подмножество моментов.

Читатель может теперь заподозрить, что множество моментов состоит из коэффициентов разложения в ряд некоторого полного описания

объекта. Это и в самом деле так. Определим порождающую моменты функцию для некоторой функции интенсивности с помощью формулы

Заметим, что это определение напоминает определение спектра Фурье функции g. Наше допущение, что функция g «хорошая», позволяет разложить порождающую моменты функцию в степенной ряд следующим образом:

Мы утверждаем, что коэффициенты представляют собой в точности моменты функции g. Чтобы убедиться в этом, оценим частную производную разложения в ряд порядка в точке (0, 0) и получим

С другой стороны, из определения порождающей моменты функции частная производная функции М порядка равна

и поэтому

Порождающая моменты функция играет заметную роль в статистике, где функция интерпретируется как функция плотности распределения. Заметим, что в нашем случае момент нулевого порядка представляет собой просто объем, заключенный под поверхностью Поскольку мы интерпретируем g как характеристическую функцию объекта, величина представляет собой его площадь. В статистике два момента первого порядка являются средними значениями функции плотности вероятности по осям X и Y. Приблизительно то же справедливо и для нашего случая. Деление величин на нормирует их по отношению к площади объекта и дает координаты X и Y его центра тяжести.

Родственное множество моментов составляют центральные моменты функции определяемые формулой

Этот вариант сводится к изменению системы координат таким образом, чтобы оси X и Y пересекались в центре тяжести объекта. Очевидно, что первые центральные моменты объекта равны нулю. Вторые моменты представляют собой моменты инерции и аналогичны дисперсиям иковариации функции распределения для двух переменных. Собственные векторы матрицы вторых центральных моментов задают направления, относительно которых объект имеет максимальный и минимальный моменты инерции. Собственные значения суть главные моменты, отношение которых описывает в некотором смысле толщину или тонкость объекта.

Глядя со стороны, мы можем интерпретировать метод моментов как своего рода уловку для осуществления того, чего нельзя осуществить простым разложением в ряд Тейлора характеристической функции объекта. Разложение в ряд Тейлора здесь «не работает» потому, что характеристическая функция множества «плохая»: она претерпевает разрыв непрерывности всюду вдоль границы множества. Однако функция с разрывами непрерывности, грубо говоря, имеет гладкий спектр Фурье, который представляет собой «хорошую» функцию и может быть разложен в степенной ряд. Порождающая моменты функция играет роль аналога спектра Фурье и позволяет нам получать описание объекта нужной информативности, отбирая все большее число коэффициентов разложения.

Теперь было бы поучительно обобщить исследованные нами способы описания объекта. Мы рассмотрели по крайней мере четыре различных метода получения полного описания: сам объект (т. е. как математический элемент характеристическую функцию объекта), спектр Фурье объекта (или функции интенсивности), скелетную пару объекта и его порождающую моменты функцию. Как правило, не особенно полезно просто заменять одно полное описание другим. В конечном счете информация в них одна и та же, а в видоизмененной форме она часто воспринимается с большим трудом, чем в форме исходного объекта. Ценность преобразования одной формы описания в другую заключается прежде всего в том, что для другой формы некоторые операции упрощения могут оказаться особенно естественными или легко реализуемыми. Лучшим примером, возможно, служит преобразование Фурье, с помощью которого элегантную интерпретацию получают такие действия, как фильтрация и сравнение с эталоном. В случае скелетной пары для упрощения скелета можно естественным образом использовать функцию гашения.

Однако, что касается способов описания, для которых геометрическая интуиция и прозрение наталкиваются на большие трудности, то они, как правило, оказываются менее полезными в анализе сцен.