Главная > Распознавание образов и анализ сцен
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5.8. ПРОЦЕДУРЫ МИНИМИЗАЦИИ КВАДРАТИЧНОЙ ОШИБКИ

5.8.1. МИНИМАЛЬНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ОШИБКА И ПСЕВДООБРАЩЕНИЕ

В случае ранее рассмотренных функций критерия внимание в основном было сфокусировано на выборках, классифицируемых с ошибкой. Теперь будет рассмотрена функция критерия, включающая все выборки. Там, где прежде осуществлялся предварительный поиск весового вектора а, приводящего к положительным значениям все скалярные произведения теперь попытаемся получить , где являются произвольно заданными положительными

константами. Таким образом, задача нахождения решения системы линейных неравенств заменяется более строгой, но более понятной задачей определения решения системы линейных уравнений.

Вид системы линейных уравнений упрощается, если ввести матричные обозначения. Пусть матрица размера строка которой является вектором и пусть b — вектор-столбец

Тогда наша задача сводится к определению весового вектора а, удовлетворяющего уравнению

Если бы матрица У была невырожденной, то можно было бы записать равенство и сразу же получить формальное решение. Однако У является прямоугольной матрицей, у которой число строк обычно превышает число столбцов. Когда уравнений больше, чем неизвестных, вектор а определен избыточно, и обычно точного решения не существует. Однако можно искать весовой вектор а, минимизирующий некоторую функцию разности между Если определить вектор ошибки как

то данный подход будет состоять в минимизации квадрата длины вектора ошибки. Данная операция эквивалентна задаче минимизации функции критерия, выражаемой суммой квадратичных ошибок:

Задача минимизации суммы квадратичных ошибок является классической. Как будет показано в п. 5.8.4, она может быть решена методом градиентного анализа. Простое решение в замкнутой форме можно также получить, образуя градиент

и полагая его равным нулю. Отсюда получается необходимое условие

и задача решения уравнения сводится к задаче решения уравнения . Большим достоинством этого замечательного уравнения является то, что матрица размера квадратная и часто невырожденная. Если данная матрица невырождена, вектор а может быть определен однозначно:

где матрица размера

называется псевдообращением матрицы У. Заметим, что если матрица У квадратная и невырожденная, псевдообращение совпадаете обычным обращением. Следует также отметить, что но обычно . Если матрица УУ вырождена, решение уравнения (32) не будет единственным. Однако решение, обеспечивающее минимальную квадратичную ошибку, существует всегда. В частности, при определении в более общем виде:

можно показать, что данный предел всегда существует, и является решением уравнения обеспечивающим наименьшую квадратичную ошибку. Указанные и другие интересные свойства псевдообращения подробно изложены в литературе.

Решение с наименьшей квадратичной ошибкой зависит от вектора допуска b, и будет показано, что различные способы выбора b приводят к различным свойствам получаемого решения. Если вектор b задан произвольно, то нет оснований считать, что в случае линейно разделяемых множеств решение с наименьшей квадратичной ошибкой даст разделяющий вектор. Однако можно надеяться, что в случае как разделяемых, так и неразделяемых множеств в результате минимизации функции критерия квадратичной ошибки может быть получена нужная разделяющая функция. Теперь перейдем к исследованию двух свойств решения, подтверждающих данное утверждение.

5.8.2. СВЯЗЬ С ЛИНЕЙНЫМ ДИСКРИМИНАНТОМ ФИШЕРА

В данном пункте будет показано, что при соответствующем выборе вектора b разделяющая функция найденная по методу минимальной квадратичной ошибки, непосредственно связана с линейным дискриминантом Фишера. Для того чтобы показать это, следует вернуться к необобщенным линейным разделяющим функциям. Предположим, что имеется множество -мерных выборок причем из них принадлежат подмножеству помеченному — подмножеству S помеченному Далее положим, что выборка образуется из путем прибавления порогового компонента, равного единице, и умножением полученного вектора на —1 в случае выборки, помеченной . Не нарушая общности, можно положить, что первые выборок помечены а последующие помечены Тогда матрицу X можно представить в следующем виде:

где и является вектор-столбцом из компонент, а матрицей размера строками которой являются выборки, помеченные . Соответствующим образом разложим а и b:

и

Можно показать, что при определенном выборе b обнаруживается связь между решением по методу наименьшей квадратичной ошибки и линейным дискриминантом Фишера.

Доказательство начнем, записав соотношение (32) для а с использованием разложенных матриц:

Определяя выборочное среднее и матрицу суммарного выборочного разброса

можно в результате перемножения матриц, входящих в (36), получить следующее выражение:

Полученное выражение может рассматриваться как пара уравнений, причем из первого можно выразить через

где является средним по всем выборкам. Подставив данное выражение во второе уравнение и выполнив некоторые алгебраические преобразования, получим

Поскольку направление вектора при любом w совпадает с направлением вектора то можно записать

следующее выражение:

где a — некоторая скалярная величина. В этом случае соотношение (40) дает

что, за исключением скалярного коэффициента, идентично решению для случая линейного дискриминанта Фишера. Помимо этого, получаем величину порога и следующее решающее правило: принять решение если иначе принять решение

5.8.3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ К ОПТИМАЛЬНОМУ ДИСКРИМИНАНТУ

Другое свойство решения по методу наименьшей квадратичной ошибки, говорящее в его пользу, состоит в том, что при условии и при оно в пределе приближается в смысле минимума среднеквадратичной ошибки к разделяющей функции Байеса

Чтобы продемонстрировать данное утверждение, следует предположить, что выборки взяты независимо в соответствии с вероятностным законом

Решение по методу наименьшей квадратичной ошибки с использованием расширенного вектора у дает разложение в ряд функции , где . Если определить среднеквадратичную ошибку аппроксимации выражением

то нашей задачей будет показать, что величина минимизируется посредством решения

Доказательство упростится при условии сохранения различия между выборками класса 1 и класса 2. Исходя из ненормированных данных, функцию критерия можно записать в виде

Таким образом, в соответствии с законом больших чисел при стремлении к бесконечности приближается с вероятностью 1 к

функции J (а), имеющей вид

где

и

Теперь, если мы из соотношения (42) определим

то получим

Второй член данной суммы не зависит от весового вектора а. Отсюда следует, что а, которое минимизирует , также минимизирует и — среднеквадратичную ошибку между .

Данный результат позволяет глубже проникнуть в суть процедуры, обеспечивающей решение по методу наименьшей квадратичной ошибки. Аппроксимируя разделяющая функция дает непосредственную информацию относительно апостериорных вероятностей . Качество аппроксимации зависит от функций и числа членов в разложении . К сожалению, критерий среднеквадратичной ошибки в основном распространяется не на точки, близкие к поверхности решения а на точки, для которых значение велико. Таким образом, разделяющая функция, которая наилучшим образом аппроксимирует разделяющую функцию Байеса, не обязательно минимизирует вероятность ошибки. Несмотря на данный недостаток, решение по методу наименьшей квадратичной ошибки обладает интересными свойствами и широко распространено в литературе. Далее, при рассмотрении методов стохастической аппроксимации, еще предстоит встретиться с задачей среднеквадратичной аппроксимации функции

1
Оглавление
email@scask.ru