9.3.7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОПИСАНИЯ

Интегральная геометрия — это сформировавшаяся математическая дисциплина, имеющая дело с вычислением вероятностей разного рода случайных геометрических событий. Ее применение в задачах описания объектов представляется привлекательным по следующим соображениям. Пусть нам дан односвязный объект, содержащий одну компоненту.

Рис. 9.27. Пересечение объекта случайными линиями, а) — случайные линии, пересекающие круг; б) — плотность распределения вероятности для длин хорд.

Представим себе эксперимент, в котором на сетчатку, где воспроизводится объект, бросают случайные линии. Предположим для конкретности, что нас интересуют две различные стороны эксперимента; во-первых, относительное число случайных линий, пересекающих объект, и, во-вторых, средняя длина хорды, вырезаемой объектом на пересекающих его линиях. Эти параметры, как и многие другие, подобные им, сильно зависят от вида объекта и, следовательно, могут использоваться для целей описания. Чтобы проиллюстрировать нашу мысль, на рис. 9.27, а показан круглый объект с наложенными на него несколькими случайными линиями. Распределение длин хорд, вырезанных кругом, изображено на рис. 9.27, б. Естественно предположить, что это распределение характеризует круглую форму объекта. Следовательно, параметры этого распределения, такие, как среднее и дисперсия, могут быть полезными для целей описания объекта.

Традиционный способ предупредить неосторожного исследователя о тонкостях предмета интегральной геометрии заключается в изложении известного парадокса Бертрана. Пусть мы взяли в

качестве объекта круг единичного радиуса и вычисляем вероятность того, что случайная хорда этого круга имеет большую длину, чем сторона вписанного равностороннего треугольника. Это эквивалентно бросанию случайных (бесконечных) линий на сетчатку и вычислению условной вероятности того, что, если линия пересекает круг, длина ее хорды больше чем Мы предлагаем читателю следующие решения.

Во-первых, вследствие симметрии мы можем без потери общности предположить, что треугольник можно построить таким образом, чтобы один из концов хорды совпадал с его вершиной. На рис. 9.28 ясно видно, что хорда может быть длинней стороны треугольника только в том случае, если другой ее конец лежит где-то на дуге, опирающейся на противоположную сторону. Следовательно, вероятность, которую мы ищем, в точности равна 1/3.

Рис. 9.28. Чертеж для иллюстрации парадокса Бертрана.

Во втором варианте (снова по соображениям симметрии) мы можем точно так же предположить, что ориентация хорды фиксирована, скажем она горизонтальна на рис. 9.28. Тогда, чтобы она была длинней стороны треугольника, она должна пересекать вертикальный диаметр где-либо между точками А и В. Поскольку все точки пересечения вертикального диаметра равновероятны, ответ должен быть равен 1/2.

И наконец, заметим, что всякая хорда единственным образом определяется основанием перпендикуляра, проведенного из центра круга. Следовательно, каждой точке круга соответствует единственная хорда. Если мы выберем точку, лежащую внутри концентрического круга половинного радиуса, то, как подсказывает рис. 9.28, соответствующая хорда будет длинней, чем сторона треугольника; в противном случае она будет короче. Поэтому вероятность, которую мы ищем, равна отношению площадей двух концентрических кругов, т. е. 1/4. Таким образом, у нас есть три прямых метода вычисления искомой вероятности, дающие ответы 1/3, 1/2 и 1/4.

Источник путаницы заключен в неоднозначности термина «бросать линию случайным образом». Чтобы уточнить этот термин, должны сначала задать параметры множества всех линий, а затем распределение вероятностей для этих параметров. Полученные выше различные ответы соответствуют различным способам, с помощью которых можно выполнить такую операцию. Не вводя каких-либо

дополнительных принципов, мы не можем сказать, что один из этих ответов правильный, — ясно лишь то, что они все различны. Принцип, к которому приходится обращаться при таких обстоятельствах, называется инвариантностью. Полное объяснение понятия инвариантности требует экскурса в теорию меры, без которого мы можем обойтись, но основная идея очень проста. Мы требуем, чтобы все наши результаты были инвариантны к переносам и вращениям объектов. Это значительно сужает возможности. Можно показать, что этому требованию удовлетворяет единственный способ задания параметров множества прямых линий: координаты , обсуждавшиеся ранее.

Рис. 9.29. Отображение точки на плоскости в линию на плоскости .

Говоря более конкретно, произвольная прямая на плоскости (X, Y) описывается с помощью перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой линии (рис. 9.29). Длина перпендикуляра равна , а угол, который он составляет с осью X, есть угол Таким образом, каждой точке на плоскости соответствует прямая на плоскости (X, Y). Чтобы дополнить наше описание «случайности», мы должны теперь задать распределение параметров . Здесь мы сталкиваемся с маленькой неприятностью. Если плоскость изображения считается бесконечной, величина может принимать произвольно большие значения, и равномерное распределение задать нельзя . К счастью, эту трудность легко обойти, договорившись с самого начала, что мы рассматриваем только линии, проходящие через сетчатку, которую предварительно определили. Это означает, что мы можем ограничить внимание таким подмножеством плоскости , которое соответствует линиям , проходящим через сетчатку. Затем мы введем термин «случайным образом»,

обозначая им равномерное распределение на этом множестве.

Используем эту формализацию для разрешения парадокса Бертрана. Зададим нашу сетчатку в виде круга единичного радиуса и вычислим вероятность того, что случайная линия, брошенная на сетчатку, имеет длину, равную по меньшей мере Как показано на рис. 9.30, множество точек на плоскости , которые соответствуют линиям, проходящим через круглую сетчатку, представляет собой прямоугольник высотой 1 и шириной Точки, лежащие в нижней половине прямоугольника, соответствуют хордам, превосходящим по длине как мы убедились в предыдущих рассуждениях. Следовательно, ответ равен 1/2, поскольку распределение на плоскости равномерно в пределах большого прямоугольника.

Рис. 9.30. Разрешение парадокса Бертрана.

Перечислим без доказательств некоторые свойства пересечений случайных линий с объектами. Полагаем всюду, что используются параметры , и поэтому перечисляемые свойства будут инвариантны к любым переносам и вращениям, которые полностью сохраняют объект внутри сетчатки. Мы должны заранее ожидать, что некоторые из этих свойств будут зависеть от самой сетчатки. Например, если сетчатка очень велика по сравнению с объектом, то только малая доля случайных линий, брошенных на сетчатку, будет вообще пересекать объект. В дальнейшем будем обозначать длину периметра сетчатки через R и будем считать, что объект состоит из одной просто связной компоненты с границей В. Наш первый результат определяет, насколько велика вероятность пересечения случайной линией объекта.

Результат 1: Вероятность того, что случайная линия пересечет объект, равна где Н — длина периметра выпуклой оболочки границы.

У читателя не должно возникнуть трудностей с вопросом, почему искомая вероятность зависит от выпуклой оболочки границы; линия пересекает объект в том и только в том случае, если она пересекает его выпуклую оболочку. Таким образом, результат 1 представляет собой элегантную формулировку того интуитивно ясного факта, что чем больше объект (по сравнению с размером сетчатки), тем больше вероятность его пересечения случайной линией.

Второй результат относится к числу пересечений объекта случайной линией.

Результат 2: Ожидаемое число пересечений границы В одной линией равно где — длина границы.

Это математическое ожидание зависит, конечно, от самой границы В, а не от Н, поскольку, если граница В очень извилиста, линия, пересекающая ее хотя бы один раз, скорее всего пересечет ее много раз.

Последний результат, который мы хотим привести, относится к площади объекта.

Результат 3: Ожидаемая длина пересечения случайной линии с произвольным объектом пропорциональна площади объекта.

Перечисленные результаты типичны для методов интегральной геометрии. Ясно, однако, что эти результаты сами по себе не особенно полезны при описании объектов. Например, если мы хотим измерить длину границы объекта, есть, конечно, и более прямой метод, чем бросание случайной линии и использование результата 2. Мы получим несколько более полезное представление об интегральной геометрии, если расширим наши горизонты и ясно осознаем, что результат эксперимента по бросанию линии представляет собой наблюдение случайной величины. Наш интерес здесь проистекает из того факта, что распределение этой случайной величины зависит от объекта. Пока мы имели дело только со средним значением такой случайной переменной. Чтобы прояснить смысл этого различия, рассмотрим следующий пример.

Предположим, мы хотим узнать, какой из двух равновероятных объектов представлен на сетчатке. Для простоты примем, что решение может быть вынесено просто по площади объекта и что для вычисления площади предполагается использовать результат 3. Прямое применение результата 3 неминуемо влечет бросание достаточно большого числа линий, необходимых, чтобы точно оценить ожидаемую длину хорды пересечения. С другой стороны, предположим, что мы рассматриваем длину хорды пересечения как случайную величину, и пусть нам повезло настолько, что мы знаем наперед функцию плотности распределения этой случайной величины для каждого из двух объектов. Таким образом, на этой стадии возможно применение классической байесовской теории решений. Бросание единственной случайной линии порождает наблюдение, которое приписывается, как обычно, объекту с наименьшей апостериорной вероятностью ошибки. Конечно, возможен случай, когда бросание

единственной линии дает неприемлемо высокую байесовскую вероятность ошибки. Это аналогично описанию образа с помощью не очень информативного набора признаков. Возможное средство заключается в бросании нескольких линий, каждая из которых приносит независимый голос за один из объектов, и в последующем подсчете голосов. Более сложный подход состоит в обращении к принципам теории последовательных решений. В данном случае теория последовательных решений указывает, какое из трех действий следует предпринять после получения результата бросания линии: отнести объект к типу 1, отнести его к типу 2 или же выполнить бросание другой линии. Как правило, при таком подходе среднее число бросаний линии, необходимое для получения заданной вероятности ошибки, минимально. Во всяком случае, существо дела здесь состоит в том, что в качестве характеристики объекта можно использовать полное распределение наблюдаемой случайной величины; следовательно, у нас здесь значительно больше гибкости, чем было бы, если бы мы ограничили наше внимание только средними значениями.

Прежде чем расстаться с методом интегральной геометрии, мы упомянем кратко два его расширения. Во-первых, в наших экспериментах по бросанию линий мы можем использовать более сложные наблюдения. Предположим, например, что все интересующие нас объекты настолько гладкие, что имеет смысл определить кривизну границы в каждой точке. Тогда при бросании линии мы можем наблюдать кривизну границы в точке пересечения. Эти наблюдения, как можно ожидать, должны быть связаны с общей кривизной границы объекта. Второе расширение метода заключается в бросании на сетчатку каких-либо кривых вместо прямых линий. Например, мы можем бросать сегменты линий (вместо бесконечных линий); данные, получаемые в этом эксперименте, могут быть связаны с углом между двумя прямыми линиями на сетчатке. Дальнейшие расширения мы предоставляем списку литературы и воображению читателя.