11.5. АППРОКСИМАЦИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПРОЕКТИРОВАНИЕМ

Особенно простые квазипроективные инварианты могут быть выведены, если допустить, что процесс съемки изображения моделируется не центральным, а ортогональным проектированием. Ортогональное проектирование, как показывает само название, подразумевает формирование точек изображения путем проектирования точек объекта ортогонально на плоскость изображения. Если имеется несколько точек объекта, их проектирующие лучи образуют параллельную связку линий; на этой параллельности и основан описываемый ниже метод. Заметим, кстати, что, если расстояние от центра объектива до множества точек объекта велико по сравнению с расстоянием между парами точек объекта, проектирующие лучи будут приблизительно параллельны. Следовательно, метод представляет практический интерес, поскольку камеры часто помещают относительно далеко от объектов, чтобы избежать сильных перспективных искажений. (Например, фотографы-портретисты обычно помещают свои камеры по крайней мере на расстоянии от снимаемого лица, чтобы на получающихся изображениях не увеличивались размеры носа.)

Геометрический чертеж ортогональной аппроксимации показан на рис. 11.10. Мы воспроизвели две плоскости изображений объект в виде отрезка PQ и два изображения этого отрезка лежащие на соответствующих плоскостях изображений. Центры объективов двух камер не показаны, и можно считать, что они находятся в бесконечности на пересечении соответствующих пар

проектирующих лучей. Важную роль в данном методе играет XZ — линия пересечения двух плоскостей изображения. В частности, мы утверждаем, что составляющие отрезков в направлении XZ имеют все одну и ту же длину. Если это утверждение справедливо, длина составляющих соответственных отрезков изображения в направлении XZ является проективным инвариантом; эти составляющие равны на двух изображениях одного и того же отрезка.

Рис. 11.10. Исследование ортогональной аппроксимации.

Набросаем схему доказательства выдвинутого выше утверждения, хотя оно и так довольно очевидно. Доказательство основано на двух свойствах ортогонального проектирования: во-первых, ортогональное проектирование является линейным преобразованием и, во-вторых, ортогональная проекция любого отрезка, параллельного плоскости изображения, имеет ту же длину, что и сам отрезок. Чтобы использовать свойство линейности, представим себе, что отрезок PQ является суммой двух составляющих, одна из которых совпадает по направлению с XZ. Вследствие линейности ортогональная проекция суммы (скажем, на первую плоскость изображения) равна сумме ортогональных проекций. Следовательно, отрезок представляет собой сумму двух векторов, один из которых есть проекция составляющей отрезка PQ в направлении XZ. Но, согласно второму свойству, составляющая PQ в направлении XZ не изменяется по длине при ортогональном проектировании; поэтому длины составляющих в направлении XZ для отрезка-изображения и отрезка-объекта одинаковы. Поскольку все сказанное справедливо и для второй плоскости изображения, может быть построено полное доказательство.

Когда дело доходит до практического применения этого квазипроективного признака, мы обнаруживаем, что применимы доводы, весьма похожие на те, которые использовались в предыдущем разделе. Как и раньше, если относительные положения двух камер известны, легко рассчитать проекции всех отрезков изображения на XZ; но, конечно, если относительные положения камер известны, имеются и лучшие пути решения задачи второго ракурса. Когда

относительные положения камер неизвестны, мы, как и прежде, для решения задачи второго ракурса можем использовать поисковые методы. Рис. 11.11 подсказывает, как можно сформулировать задачу поиска. На этом рисунке мы показали плоскости изображений рис. 11.10, развернутые относительно линии XZ так, что оба изображения оказываются в одной плоскости. Поскольку составляющие в направлении XZ для изображений обоих отрезков равны, отрезки параллельны. Таким образом, если у нас есть две картинки одного и того же объекта, их можно поместить на плоскость в такой относительной ориентации, чтобы линии, соединяющие соответственные точки изображений, были параллельны.

Рис. 11.11. Плоскости изображений рис. 11.10, развернутые относительно прямой XI.

Другой вариант основан на том, что должны быть, очевидно, некоторые предпочтительные направления на каждой плоскости изображения, такие, что составляющие соответственных отрезков изображения, измеренные по этим направлениям, оказываются равными. В любом случае простое рассуждение показывает, что здесь задача .по-иска двумерная, причем обе координаты поискового пространства представляют собой углы поворотов. Тогда на практике можно было бы отыскивать такую относительную ориентацию изображений, при которой критерий параллельности наиболее близок к выполнению (или, в другом варианте, такие предпочтительные направления, при которых наиболее близок к выполнению критерий равенства составляющих). В любом случае необходимо иметь по крайней мере три точки изображения, чтобы избежать вырожденных решений. Наконец, здесь осталась бы еще проблема решения, выполняется ли критерий настолько хорошо, чтобы можно было сделать решительный вывод, что это частное необходимое условие «одинаковости» двух изображений удовлетворено. Таким образом, как и в предыдущем разделе, задача второго ракурса превращена в задачу поиска, за которой следует процесс принятия решения.

Перечислив так подробно черты сходства между этим методом и описанным ранее, было бы правильно указать некоторые их важные различия. В предыдущем случае поиск выполнялся в четырехмерном поисковом пространстве. Более того, пространство поиска было не ограничено, поскольку физически мы отыскивали точки прокола, которые могли находиться в любом месте каждой из бесконечных плоскостей изображения. С другой стороны, настоящий метод связан с поиском во всего лишь двумерном ограниченном поисковом пространстве — ограниченном, поскольку физически мы отыскиваем ориентаций, которые могут находиться только между 0 и 360°. Поэтому настоящий метод обладает тем преимуществом, что связанная с ним задача поиска существенно легче. Однако наряду с этим вычислительным преимуществом имеется и недостаток. Некоторое небольшое размышление приводит к выводу, что настоящий метод использует только одномерную информацию об объекте, а именно метод зависит исключительно от взятых по направлению XZ составляющих расстояний между парами точек объекта. Следовательно, хотя метод и в самом деле приводит к необходимому условию того, что два изображения показывают один и тот же объект, это условие слабее, чем то, которое может быть получено более сложным в вычислительном отношении методом.