Глава 8. АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЧАСТОТ

8.1. ВВЕДЕНИЕ

В этой главе мы хотим определить операцию двумерного преобразования Фурье и обсудить некоторые ее применения в анализе сцен. Наш интерес к этому преобразованию вызван двумя причинами: оно дает одновременно и хороший аппарат для исследования некоторых теоретических аспектов обработки изображений, и удобные средства для реализации таких операций, как сглаживание, повышение резкости и сравнение с эталоном.

Прежде чем переходить к деталям, мы должны сделать два замечания. Во-первых, мы предполагаем, что читатель хотя бы слегка знаком с одномерным преобразованием Фурье, которое широко используется в теории связи. Во-вторых, читателя, склонного к цифровым методам, мы спешим уверить, что, хотя наше обсуждение будет проводиться полностью на языке аналоговых функций интенсивности, имеются весьма эффективные цифровые методы вычисления результатов преобразования Фурье для дискретного изображения. Вообще говоря, для выполнения этого преобразования имеются как хорошие аналоговые, так и хорошие цифровые методы. Одновременное развитие оптических средств для изображений в аналоговой форме и так называемого быстрого преобразования Фурье для изображений в цифровой форме удваивает наш интерес к обсуждению возможных применений частотных методов в анализе сцен.

Наше обсуждение мы начнем с нескольких фундаментальных определений. Пусть имеется аналоговая функция интенсивности , заданная на бесконечной плоскости. Определим преобразование Фурье , создающее спектр Фурье следующим образом:

Определим также обратное преобразование Фурье переводящее спектр в исходную функцию

Оставим пока в стороне вопросы математического характера о существовании определенных интегралов и посмотрим, в чем заключается смысл этих определений. Можно считать, что формула (2) описывает разложение функции интенсивности в ряд, который представляет собой «обобщенную сумму» экспоненциальных функций комплексного аргумента. Для каждой пары значений пространственных частот и в обобщенной сумме имеется одна экспонента, которая умножается на весовой коэффициент Как же получаются эти весовые коэффициенты? Согласно фундаментальному результату анализа Фурье, называемому обратной теоремой, весовые коэффициенты определяются по формуле (1). Таким образом, спектр Фурьефункции можно считать просто набором весовых коэффициентов ее разложения в ряд, представляющий собой (обобщенную) сумму экспоненциальных функций.

Вернемся на короткое время к вопросу о существовании пары преобразований Фурье (1) и (2). Ответ на этот вопрос может показаться не слишком элегантным по форме. Он заключается в следующей совокупности обычно принимаемых достаточных условий:

1) функция g должна быть абсолютно интегрируемой на всей плоскости изображения;

2) функция g должна иметь конечное число разрывов и конечное число максимумов и минимумов в любой прямоугольной области конечных размеров;

3) функция g не должна иметь бесконечных разрывов.

Хотя вопрос о существовании преобразования Фурье интересен с математической точки зрения, мы в дальнейшем им заниматься не будем, поскольку проблемы, связанные с существованием определенных интегралов, на практике, как правило, никаких трудностей не вызывают.

Нам хотелось бы рассмотреть несколько более детально, какие следствия вытекают из определения пары преобразований Фурье и вчем заключается их смысл. В частности, будет показано, что высокие пространственные частоты соответствуют резким изменениям интенсивности на изображении. Мы видели, что спектр функции интенсивности определяет весовые коэффициенты ее разложения в ряд, составленный из комплексных экспонент; поэтому для понимания смысла преобразования нужно хорошо представлять себе, как выглядит экспоненциальная функция

для заданных значений и . К сожалению, эта функция двух переменных х и у принимает комплексные значения, и ее трудно изобразить графически. Некоторое представление о ее виде можно получить, если пометить на плоскости (X, Y) области, в которых эта функция вещественна и положительна. Эти так называемые области нулевой фазы можно найти, приравняв показатель экспоненты

величине для всех целых п. Это приводит к уравнению

или

Таким образом, как показано на рис. 8.1 , области нулевой фазы представляют собой прямые - параллельные линии.

Рис. 8.1. Геометрическое место точек нулевой фазы. (Из книги Дж. Гудмэна «Введение в фурье-оптику». Авторские права 1968 г. издательства McGraw-Hill, Inc. Воспроизводится с разрешения McGraw-Hill Book Company.)

Наклон каждой прямой равен , а их общая нормаль ориентирована под углом Расстояние L между этими прямыми называется пространственным периодом и определяется формулой

Следовательно, чем выше пространственные частоты, тем теснее расположены линии нулевой фазы. С каждой точкой на плоскости пространственных частот связаны два геометрических параметра: угол ориентации 0 и интервал

Попробуем теперь понять, что означает появление пространственной частоты с большой амплитудой в спектре Фурье некоторого изображения. Пусть, например, у нас есть изображение спектр которого достигает большой величины, скажем, в точке . Поскольку значение велико, слагаемое вносит значительный вклад, в обобщенную сумму экспонент в формуле (2). Легко показать, что, поскольку функция вещественная, справедливо равенство где звездочка обозначает комплексно сопряженную величину. Так как модули комплексно сопряженных величин равны, то величина равна по модулю и поэтому слагаемое

также вносит значительный вклад в сумму экспонент формулы (2). Предположим теперь, что функция мала по модулю всюду, кроме точек . Тогда изображение достаточно хорошо аппроксимируется формулой

поскольку это слагаемое преобладает в сумме экспонент выражения (2). Легко показать, что это слагаемое представляет собой вещественную величину; если изобразить ее графически, она будет выглядеть, как волнистая поверхность синусоидальной формы, гребни которой образуют параллельные линии, подобные изображенным на рис. 8.1. Следовательно, каждая симметричная пара пространственных частот вызывает появление в обобщенной сумме (2) слагаемого, представляющего изображение параллельных полос с изменением интенсивности по синусоидальному закону. Чем больше модуль спектра в точке , тем значительней вклад, вносимый этим слагаемым.

Пусть, например, у нас есть функция интенсивности состоящая из вертикальных темных и светлых полос. Если интенсивность при переходе от темных полос к светлым меняется по синусоидальному закону, спектр Фурье не равен нулю только в двух точках плоскости пространственных частот, причем обе точки лежат на оси . Если перепады интенсивности более резкие, спектр Фурье будет отличен от нуля более чем в двух точках; однако вне оси он по-прежнему равен нулю, так как полосы на изображении вертикальны. Как и в случае одномерного преобразования Фурье, чем резче перепады интенсивности, тем больше будет величина для больших значений

В общем случае края на изображении создают пространственные частоты вдоль линии на плоскости комплексных частот, перпендикулярной краю. Чем резче край, тем дальше от начала координат мы должны уйти по этой линии, чтобы величина весовых коэффициентов

стала незначительной. Таким образом, наш качественный вывод заключается в том, что высокие пространственные частоты соответствуют резким краям, низкие — отсутствию краев (т. е. областям с приблизительно постоянным уровнем полутонов), а ориентация пространственной частоты соответствует ориентации края на изображении.