8.5. СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ ОЦЕНКА

До сих пор мы обсуждали некоторые эвристические методы сглаживания изображений или повышения их резкости. В этом разделе мы хотим дать формальную постановку задачи создания таких методов с тем, чтобы изложить классические результаты Винера и Колмогорова по теории оптимальной оценки. Основной вопрос будет заключаться в том, как сформулировать требования к пространственному фильтру, который очищал бы изображение от шума «оптимальным» образом. Наше изложение будет по необходимости кратким; читателя, желающего ознакомиться с предметом более подробно, мы отсылаем к литературе, и в первую очередь к работам, перечисляемым в конце главы.

С самого начала будем считать, что функция интенсивности может быть представлена в виде суммы

где s представляет собой идеальное изображение или сигнал, а — чисто «шумовое» изображение. Задача заключается в оценке сигнала s по реальному изображению g. Для того чтобы задача оценки была хорошо определена, примем, что и s, и g представляют собой случайные функции интенсивности. Выражаясь формально, мы будем считать, что для любого множества из точек на плоскости изображения вектор представляет собой векторную случайную величину со своим собственным законом распределения вероятностей. Пусть то же самое справедливо и для шума. Мы примем также, что среднее значение шума равно нулю, т. е.

для всех точек Мы хотим построить пространственный фильтр с импульсной реакцией (или, что равносильно, с передаточной функцией который на входе получал бы функцию а на выходе давал некоторую функцию которая была бы «наилучшим» приближением идеального изображения В качестве критерия оптимальности мы будем применять среднеквадратичную ошибку, и поэтому задача сводится к построению фильтра Н, минимизирующего величину

Прежде чем переходить к задаче минимизации, нам придется изложить некоторые предварительные сведения и дать ряд определений. Пусть даны две случайные функции интенсивности s и s. Определим их функцию взаимной корреляции формулой

Заметим, что между этим определением взаимной корреляции и предыдущим определением, введенным в связи с задачей сравнения с эталоне», существует сходство. В обоих случаях одна из функций смещается относительно другой и произведение соответственных значений «усредняется»: в предыдущем случае — суммированием по плоскости изображения, в настоящем случае — непосредственным вычислением математического ожидания. Если обе функции одинаковы (т. е. ), функция называется автокорреляционной функцией. Результат преобразования Фурье, примененного к автокорреляционной функции случайной функции интенсивности s, называется спектральной плотностью мощности функции s и будет обозначаться далее как Этот термин правильно отражает смысл, поскольку можно показать, что интеграл функции по любой области на плоскости пространственных частот в точности равен доле мощности случайного изображения, содержащейся на этих пространственных частотах. По определению

Аналогично взаимная спектральная плотность двух случайных функций интенсивности s и s представляет собой результат преобразования Фурье для функции взаимной корреляции

Согласно обратной теореме,

Поэтому

Аналогично

и

Нам понадобится еще целый ряд результатов, прежде чем мы сможем заняться нашей задачей минимизации. Эти результаты устанавливают соотношения между взаимными спектральными плотностями входных и выходных сигналов фильтра; нам они необходимы, чтобы оценить эффект от действия фильтра. Мы приводим эти результаты без доказательства, но их легко получить непосредственно из определений (звездочка обозначает комплексно сопряженные величины)

Теперь, имея все эти результаты и пользуясь введенными ранее определениями, мы можем построить фильтр Я, дающий наилучшую оценку исходного сигнала s. Поскольку мы собираемся минимизировать математическое ожидание квадрата ошибки, напишем

Используя наши соотношения для взаимных спектральных плотностей, получим (зависимость от не указывается)

Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом:

При такой записи подынтегрального выражения становится очевидным, что минимум среднеквадратичной ошибки имеет место, когда передаточная функция Н нашего фильтра принимает вид

Последняя формула описывает знаменитый винеровский фильтр.

В общем случае довольно трудно дать винеровскому фильтру какую-то качественную интерпретацию в первую очередь потому, что нет такого рода простой интерпретации для взаимной спектральной плотности. Ситуация становится значительно более приемлемой, если мы предположим, что среднее значение шума равно нулю и он не коррелирован с сигналом, т. е.

В этом случае легко убедиться, что

и

Следовательно,

Смысл этой формулы нетрудно установить. Спектральная плотность случайного изображения, как мы упоминали выше, определяет величину его мощности, вносимую каждой из пространственных частот. Следовательно, передаточная функция фильтра велика по модулю на тех пространственных частотах, на которых мощность сигнала велика по сравнению с мощностью шума. Передаточная функция достигает своей максимальной величины, равной единице, на тех частотах, на которых мощность шума равна нулю, и, наоборот, полностью подавляет частоты, на которых мощность сигнала равна нулю. Такое естественное толкование представляет собой, возможно, наиболее ценный результат теории винеровской фильтрации. Каждая пространственно-частотная составляющая умножается на коэффициент, значение которого лежит между нулем и

единицей. Вес, придаваемый каждой из частот, в точности равен доле мощности сигнала для этой пространственной частоты, отнесенной к суммарной мощности сигнала и шума для той же частоты. В качестве простой иллюстрации предположим, что по условию сигнал ограничен сверху по полосе частот до некоторой пространственной частоты W. Если Известно, что шум содержит только пространственные частоты, превышающие W, то в соответствии как с математическим, так и с качественным толкованием сигнал лучше всего отделяется от шума посредством фильтра низких частот, пропускающего только частоты ниже W.

Родственным вопросом, представляющим интерес, является вопрос о синтезе фильтра, который дает наилучшую оценку производной функции интенсивности. На этот вопрос легко ответить, если под «производной» понимается ориентированная производная сигнала s вдоль некоторого направления на плоскости изображения. (В качестве особых случаев сюда входят, конечно, и частные производные по осям X и Y.) Можно показать, что наилучшая оценка ориентированной производной сигнала равна ориентированной производной наилучшей оценки сигнала. Другими словами, наилучшая оценка образуется в результате предварительной обработки заданной функции интенсивности g с помощью полученного выше винеровского фильтра и последующего дифференцирования его выходного сигнала. Такая простота, по существу, связана с тем, что операция взятия ориентированной производной является линейной, а фильтры класса, который мы рассматриваем, выполняют линейные операции над их входными сигналами.

С другой стороны, предположим, что мы хотим оценить величину модуля градиента сигнала. Нам было бы приятно сообщить, что эту оценку можно выполнить оптимальным образом простым взятием модуля градиента от винеровской оценки сигнала. К сожалению, в данном случае это не так: операция взятия модуля не является линейной. Такая процедура, однако, представляется «хорошим», а иногда даже и оптимальным методом оценки модуля градиента.