Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
8.4. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯВ предыдущем разделе мы показали, что взаимная корреляция может вычисляться на плоскости частот простым перемножением спектров. В данном разделе нам хотелось бы рассмотреть несколько более детально, в чем заключается смысл перемножения спектров, и указать некоторые другие приложения. Введем сначала несколько терминов. Пусть у нас есть первоначальная входная функция интенсивности
представляет собой спектр Фурье выходного сигнала фильтра. Выходная функция интенсивности
где
Функция
Таким образом, функция Теорема о свертке позволяет нам интерпретировать процесс пространственной фильтрации двумя различными способами: выходной сигнал фильтра можно считать либо сверткой входного изображения и импульсной реакции фильтра, либо результатом обратного преобразования Фурье от произведения передаточной функции фильтра и спектра входного изображения. Каждая из этих точек зрения может быть полезной в различных ситуациях. В предыдущем разделе, когда мы рассматривали сравнение с эталоном, было удобней использовать интерпретацию посредством свертки (т. е. на плоскости изображения); импульсная реакция соответствовала перевернутому эталону, а процесс фильтрации был эквивалентен вычислению функции взаимной корреляции. В данном разделе мы собираемся сделать упор на трактовку процесса пространственной фильтрации в плоскости частот. Прежде чем двигаться дальше, мы должны сказать несколько слов о «линейности» линейных пространственных фильтров. Пусть мы имеем дело с произвольной фильтрующей операцией
Используя это свойство и вторую строку формулы (15), нетрудно убедиться, что фильтры, которые мы рассматриваем, в самом деле линейны. Далее мы по-прежнему ограничим наше внимание линейными фильтрами. Смысл линейной пространственной фильтрации, видимо, лучше уяснить с помощью нескольких примеров. С этой целью рассмотрим и проиллюстрируем операции низкочастотной и высокочастотной пространственной фильтрации. Фильтр низких частот характеризуется передаточной функцией на плоскости частот, и имеющей относительно большую величину для частот вблизи начала координат. Другими словами, фильтр низких частот подавляет высокие пространственные частоты и пропускает низкие. Поскольку мы уже отмечали, что высокие пространственные частоты вызываются резкими краями на исходном изображении, следует ожидать, что фильтр низких частот будет сглаживать резкие края и, следовательно, давать «расплывчатые» изображения. Процесс фильтрации низких частот, по существу, анало гичен операции пространственного сглаживания, обсуждавшейся в предыдущей главе. Фильтр высоких пространственных частот, напротив, характеризуется передаточной функцией, имеющей относительно большую величину для пространственных частот, удаленных от начала координат, и относительно малую величину для частот, близких к началу координат. Другими словами, фильтр высоких частот подавляет низкие частоты и пропускает высокие. Поскольку высокие пространственные частоты соответствуют резким краям, фильтр высоких частот подчеркивает края, и, следовательно, его действие аналогично пространственному дифференцированию. В качестве примера рассмотрим последовательность изображений, показанную на рис. 8.3а-8.3е. На рис. 8.3 а показана та же самая картинка с телевизионного монитора, которая была использована для иллюстраций в предыдущей главе. На рис. 8.36 снова показан дискретный вариант этого изображения размером Отвлечемся на короткое время от основной темы, чтобы сказать несколько слов о масштабе по осям (см. скан) Рис. 8.3а. Изображение на телевизионном мониторе. (см. скан) Рис. 8.3б. Дискретное изображение. (см. скан) Рис. 8.3в. Логарифм модуля спектра Фурье. (см. скан) Рис. 8.3г. Результат низкочастотной фильтрации. (см. скан) Рис. 8.3д. Результат высокочастотной фильтрации. (см. скан) Рис. 8.3е. Результат операции подчеркивания высоких частот. квантовано по определению с интервалом в один элемент, и в результате получилось дискретное изображение (рис. 8.36). Из теоремы отсчетов Шеннона мы знаем, что таксой интервал квантования позволяет точно восстановить аналоговое изображение только в том случае, если оно ограничено по полосе частот и его пространственные частоты меньше величины в Теперь пропустим полученный спектр Фурье через фильтр низких частот. В связи с предыдущим обсуждением передаточную функцию фильтра
Заметим, что Рассмотрим теперь два примера фильтрации высоких частот. В первом примере мы применим передаточную функцию
Эта функция равна 0,5 в начале координат на плоскости частот, а в точках, где либо В качестве второго примера высокочастотной фильтрации мы применим фильтр с передаточной функцией
Эта функция отличается от предыдущей только добавлением кон станты 0,5; ее величина меняется от 1,0 в начале координат до 2,0 на высоких частотах. Поэтому операцию, выполняемую таким фильтром, естественно назвать «подчеркиванием высоких частот». Результат ее применения к тому же изображению показан на рис. 8.3 е. Эта картинка больше похожа на исходную, чем рис. 8.3 д, так как низкие частоты здесь не подавлялись, и общее соотношение между светлыми и темными областями осталось поэтому неизменным. Подчеркивание выразилось в том, что края стали несколько более заметными, но не чересчур сильно. На рис. 8.4 а-8.4 е показана другая серия примеров, иллюстрирующих результаты применения описанной последовательности операций к другому исходному изображению. На рис. 8.4 а показана картинка с телевизионного монитора, изображающая вид через открытую дверь комнаты. Черные прямоугольники слева представляют собой наклеенные на стену куски черной бумаги, и мы, таким образом, можем сравнивать «реальные» объекты, такие, как кресло, с «идеальными» черно-белыми объектами, имеющими прямолинейные границы. Рис. 8.4 б Представляет собой дискретное изображение размером 120 х 120 элементов, а рис. 8.4 в показывает логарифм модуля его спектра Фурье. Все края, заметные на дискретном изображении, ориентированы горизонтально или вертикально, и поэтому все существенные высокочастотные компоненты в спектре Фурье расположены вдоль осей (см. скан) Рис. 8.4 а. Изображение на телевизионном мониторе. (см. скан) Рис. 8.4 б. Дискретное изображение. (см. скан) Рис. 8.4 в. Логарифм модуля спектра Фурье. (см. скан) Рис. 8.4 г. Результат низкочастотной фильтрации. (см. скан) Рис. 8.4 д. Результат высокочастотной фильтрации. (см. скан) Рис. 8.4 е. Результат операции подчеркивания высоких частот. светлой границей. Это явление обычно рассматривается как чрезмерное подчеркивание. Оно возникает, когда фильтруемое изображение содержит резкие разрывы. И наконец, на рис. 8. 4 е показан результат применения фильтра для подчеркивания высоких частот, определяемого формулой (18). Мы привели обе серии примеров лишь ради иллюстрации и не пытались оптимизировать эти фильтры в каком-либо смысле. Тем не менее мы должны подчеркнуть, что фильтрация с помощью преобразования Фурье не является универсальным средством для получения идеальных изображений. Скорее она представляет собой инструмент, применять который следует избирательно. По мнению многих исследователей, этот метод больше всего подходит в тех случаях, когда имеют дело с повторяющимися или периодическими изображениями, так как спектры Фурье связаны с разложением в ряд по экспоненциальным функциям, которые сами являются периодическими.
|
1 |
Оглавление
|