8.4. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

В предыдущем разделе мы показали, что взаимная корреляция может вычисляться на плоскости частот простым перемножением спектров. В данном разделе нам хотелось бы рассмотреть несколько более детально, в чем заключается смысл перемножения спектров, и указать некоторые другие приложения.

Введем сначала несколько терминов. Пусть у нас есть первоначальная входная функция интенсивности со спектром Фурье и мы умножаем G; на другую функцию Функция Я определяет линейный пространственный фильтр и называется передаточной функцией этого фильтра. Произведение

представляет собой спектр Фурье выходного сигнала фильтра. Выходная функция интенсивности представляет собой результат обратного преобразования Фурье от функции . Согласно теореме о свертке,

где

Функция называется импульсной реакцией или функцией рассеивания точки. Ясно, что в соответствии с теоремой о свертке фильтр может быть задан либо его передаточной функцией , либо его импульсной реакцией h. Рассмотрим, в чем смысл функции Пусть нашей входной функцией является Дельтафункция Дирака Применяя формулу (15), получим

Таким образом, функция представляет собой реакцию фильтра на яркую световую точку.

Теорема о свертке позволяет нам интерпретировать процесс пространственной фильтрации двумя различными способами: выходной сигнал фильтра можно считать либо сверткой входного изображения и импульсной реакции фильтра, либо результатом обратного преобразования Фурье от произведения передаточной функции фильтра и спектра входного изображения. Каждая из этих точек зрения может быть полезной в различных ситуациях. В предыдущем разделе, когда мы рассматривали сравнение с эталоном, было удобней использовать интерпретацию посредством свертки (т. е. на плоскости изображения); импульсная реакция соответствовала перевернутому эталону, а процесс фильтрации был эквивалентен вычислению функции взаимной корреляции. В данном разделе мы собираемся сделать упор на трактовку процесса пространственной фильтрации в плоскости частот.

Прежде чем двигаться дальше, мы должны сказать несколько слов о «линейности» линейных пространственных фильтров. Пусть мы имеем дело с произвольной фильтрующей операцией которая превращает входное изображение g в выходное изображение . Операцию называют линейной, если для любой константы а и любых двух функций интенсивности справедливо равенство Преобразование Фурье само по себе линейно; легко показать, что

Используя это свойство и вторую строку формулы (15), нетрудно убедиться, что фильтры, которые мы рассматриваем, в самом деле линейны. Далее мы по-прежнему ограничим наше внимание линейными фильтрами.

Смысл линейной пространственной фильтрации, видимо, лучше уяснить с помощью нескольких примеров. С этой целью рассмотрим и проиллюстрируем операции низкочастотной и высокочастотной пространственной фильтрации. Фильтр низких частот характеризуется передаточной функцией имеющей относительно малую величину для точек удаленных от начала координат

на плоскости частот, и имеющей относительно большую величину для частот вблизи начала координат. Другими словами, фильтр низких частот подавляет высокие пространственные частоты и пропускает низкие. Поскольку мы уже отмечали, что высокие пространственные частоты вызываются резкими краями на исходном изображении, следует ожидать, что фильтр низких частот будет сглаживать резкие края и, следовательно, давать «расплывчатые» изображения. Процесс фильтрации низких частот, по существу, анало гичен операции пространственного сглаживания, обсуждавшейся в предыдущей главе. Фильтр высоких пространственных частот, напротив, характеризуется передаточной функцией, имеющей относительно большую величину для пространственных частот, удаленных от начала координат, и относительно малую величину для частот, близких к началу координат. Другими словами, фильтр высоких частот подавляет низкие частоты и пропускает высокие. Поскольку высокие пространственные частоты соответствуют резким краям, фильтр высоких частот подчеркивает края, и, следовательно, его действие аналогично пространственному дифференцированию. В качестве примера рассмотрим последовательность изображений, показанную на рис. 8.3а-8.3е. На рис. 8.3 а показана та же самая картинка с телевизионного монитора, которая была использована для иллюстраций в предыдущей главе. На рис. 8.36 снова показан дискретный вариант этого изображения размером элементов с квантованием интенсивности на 16 уровней от черного (нуль) до белого (15). На рис. 8.3 в показан спектр Фурье дискретного изображения. Чтобы детали были ясней, мы воспроизвели логарифм модуля спектра; по случайным причинам большие значения здесь представлены черным. Заметим, что спектр имеет большую величину вдоль осей . Причиной этого служат соответственно вертикальные и горизонтальные края на исходном изображении. Подобно этому, наклонные края на исходном изображении дают темные диагональные полосы в спектре, причем каждая из полос перпендикулярна по крайней мере одному наклонному краю. И наконец, заметим, что исходное изображение содержит большие области с приблизительно постоянной интенсивностью; поэтому спектр имеет значительную величину вблизи начала координат.

Отвлечемся на короткое время от основной темы, чтобы сказать несколько слов о масштабе по осям на рис. 8.3 в. Единица частоты всегда обратна единице расстояния, используемой в плоскости изображения. Нам не приходилось измерять расстояние на плоскости изображения, и у нас нет какой-либо специальной единицы. Поскольку мы имеем дело с дискретными изображениями, примем в качестве такой единицы размер одного элемента изображения. Тогда единицей пространственной частоты будет (элемент изображения), или, попросту говоря, число периодов на элемент изображения. Исходное аналоговое изображение рис. 8.3 а было

(см. скан)

Рис. 8.3а. Изображение на телевизионном мониторе.

(см. скан)

Рис. 8.3б. Дискретное изображение.

(см. скан)

Рис. 8.3в. Логарифм модуля спектра Фурье.

(см. скан)

Рис. 8.3г. Результат низкочастотной фильтрации.

(см. скан)

Рис. 8.3д. Результат высокочастотной фильтрации.

(см. скан)

Рис. 8.3е. Результат операции подчеркивания высоких частот.

квантовано по определению с интервалом в один элемент, и в результате получилось дискретное изображение (рис. 8.36). Из теоремы отсчетов Шеннона мы знаем, что таксой интервал квантования позволяет точно восстановить аналоговое изображение только в том случае, если оно ограничено по полосе частот и его пространственные частоты меньше величины в периода на элемент изображения. То же самое можно установить качественным рассуждением: наивысшая воспроизводимая пространственная частота в дискретном изображении соответствует последовательности попеременно черных и белых элементов, и такой сигнал как раз и дает пространственную частоту точно в периода на элемент изображения. Таким образом, как с математической точки зрения, так и качественно наивысшая пространственная частота для рис. 8.3 в равна периода на элемент, и, следовательно, частоты по осям изменяются от до периода на элемент изображения.

Теперь пропустим полученный спектр Фурье через фильтр низких частот. В связи с предыдущим обсуждением передаточную функцию фильтра следует определять только для пространственных частот, меньших чем Для иллюстрации мы применили передаточную функцию

Заметим, что , т. е. пространственная частота (0, 0) «проходит» без изменений. На высоких частотах, например когда или равны передаточная функция Таким образом, высокие частоты сильно подавляются. Мы возвели произведение косинусов в выбранную произвольно 16-ю степень, чтобы получить резкий спад передаточной функции от максимума, равного 1, к минимуму, равному 0. Чтобы применить этот фильтр низких частот, мы просто выполнили операции, диктуемые второй строкой формулы (15); спектр Фурье дискретного изображения (рис. 8.3 в) умножался на передаточную функцию, определяемую уравнением (16), и произведение подвергалось обратному преобразованию Фурье. Результат показан на рис. 8.3 г. Как и ожидалось, мы получили весьма расплывчатый вариант исходного изображения, настолько нерезкий, что вряд ли он может быть для чего-то полезен. Мы поступили так умышленно, чтобы сделать качественный эффект низкочастотной фильтрации более заметным; ясно, однако, что фильтрация низких частот, как и пространственное сглаживание, должна применяться осторожно. Можно получить меньшую расплывчатость, уменьшив показатель степени в формуле (16).

Рассмотрим теперь два примера фильтрации высоких частот. В первом примере мы применим передаточную функцию

Эта функция равна 0,5 в начале координат на плоскости частот, а в точках, где либо либо равны принимает значение 1,5. Другими словами, этот фильтр подавляет низкие частоты (но не полностью) и «поднимает» высокие частоты. Произведение косинусов возводится в четвертую степень, й это означает, что перепад функции от низких частот к высоким не такой резкий, как в предыдущем примере. Результат применения этого фильтра к тому же изображению показан на рис. 8.3 д. Здесь мы видим, что некоторые края, расплывчатые на рис. 8.36, стали немного резче; в то же время шумовые выбросы в области пола стали несколько болей заметны. Поскольку низкие частоты подавлены, темный треугольник клина стал теперь светлее и менее равномерным по интенсивности.

В качестве второго примера высокочастотной фильтрации мы применим фильтр с передаточной функцией

Эта функция отличается от предыдущей только добавлением кон станты 0,5; ее величина меняется от 1,0 в начале координат до 2,0 на высоких частотах. Поэтому операцию, выполняемую таким фильтром, естественно назвать «подчеркиванием высоких частот». Результат ее применения к тому же изображению показан на рис. 8.3 е. Эта картинка больше похожа на исходную, чем рис. 8.3 д, так как низкие частоты здесь не подавлялись, и общее соотношение между светлыми и темными областями осталось поэтому неизменным. Подчеркивание выразилось в том, что края стали несколько более заметными, но не чересчур сильно.

На рис. 8.4 а-8.4 е показана другая серия примеров, иллюстрирующих результаты применения описанной последовательности операций к другому исходному изображению. На рис. 8.4 а показана картинка с телевизионного монитора, изображающая вид через открытую дверь комнаты. Черные прямоугольники слева представляют собой наклеенные на стену куски черной бумаги, и мы, таким образом, можем сравнивать «реальные» объекты, такие, как кресло, с «идеальными» черно-белыми объектами, имеющими прямолинейные границы. Рис. 8.4 б Представляет собой дискретное изображение размером 120 х 120 элементов, а рис. 8.4 в показывает логарифм модуля его спектра Фурье. Все края, заметные на дискретном изображении, ориентированы горизонтально или вертикально, и поэтому все существенные высокочастотные компоненты в спектре Фурье расположены вдоль осей На рис. 8.4 г показан результат обработки дискретного изображения фильтром низких частот с передаточной функцией (16). Рис. 8.4 д показывает результат применения высокочастотного фильтра, определяемого формулой (17). На этом изображении некоторые детали, такие, как книжный шкаф, выглядят немного более разборчиво. Заметим, что длинный черный прямоугольник имеет очень темную границу, окруженную очень

(см. скан)

Рис. 8.4 а. Изображение на телевизионном мониторе.

(см. скан)

Рис. 8.4 б. Дискретное изображение.

(см. скан)

Рис. 8.4 в. Логарифм модуля спектра Фурье.

(см. скан)

Рис. 8.4 г. Результат низкочастотной фильтрации.

(см. скан)

Рис. 8.4 д. Результат высокочастотной фильтрации.

(см. скан)

Рис. 8.4 е. Результат операции подчеркивания высоких частот.

светлой границей. Это явление обычно рассматривается как чрезмерное подчеркивание. Оно возникает, когда фильтруемое изображение содержит резкие разрывы. И наконец, на рис. 8. 4 е показан результат применения фильтра для подчеркивания высоких частот, определяемого формулой (18).

Мы привели обе серии примеров лишь ради иллюстрации и не пытались оптимизировать эти фильтры в каком-либо смысле. Тем не менее мы должны подчеркнуть, что фильтрация с помощью преобразования Фурье не является универсальным средством для получения идеальных изображений. Скорее она представляет собой инструмент, применять который следует избирательно. По мнению многих исследователей, этот метод больше всего подходит в тех случаях, когда имеют дело с повторяющимися или периодическими изображениями, так как спектры Фурье связаны с разложением в ряд по экспоненциальным функциям, которые сами являются периодическими.