4.2. ОЦЕНКА ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Идеи, лежащие в основе методов оценки неизвестной плотности распределения вероятностей, довольно просты, хотя доказательство сходимости этих оценок сопряжено с большими трудностями. Большинство фундаментальных методов опирается на то, что вероятность

P попадания вектора х в область задается выражением

Таким образом, Р есть сглаженный, или усредненный, вариант плотности распределения и можно оценить это сглаженное значение посредством оценки вероятности Р. Предположим, что выборок берутся независимо друг от друга в соответствии с вероятностным законом Очевидно, что вероятность попадания k из выборок в задается биномиальным законом

и ожидаемой величиной k будет

Более того, это биномиальное распределение для k имеет довольно резко выраженные максимумы около среднего значения, поэтому мы считаем, что отношение будет хорошей оценкой вероятности Р, а следовательно, и сглаженной плотности распределения. Если теперь мы допустим, что непрерывна и область S? настолько мала, что в ее пределах меняется незначительно, то можем написать

где х — это точка внутри и V — объем . Объединяя уравнения (1) — (3), получаем следующую очевидную оценку для :

Остается решить несколько проблем практического и теоретического плана. Если мы фиксируем объем V и делаем все больше и больше выборок, отношение сойдется (по вероятности) требуемым образом, но при этом мы получаем только оценку пространственно усредненной величины

Если мы хотим получить а не усредненный ее вариант, необходимо устремить V к нулю. Однако если зафиксировать количество выборок и позволить V стремиться к нулю, то область в конечном

счете станет настолько малой, что не будет содержать в себе никаких выборок, и наша оценка будет бесполезной.

С практической точки зрения количество выборок всегда ограничено, так что нельзя позволить объему V становиться бесконечно малым. Если приходится пользоваться таким видом оценки, то нужно допускать определенную дисперсию отношения и определенное усреднение плотности распределения

С теоретической точки зрения интересно, как можно обойти эти ограничения при наличии неограниченного количества выборок. Предположим, что мы пользуемся следующей процедурой. Для оценки плотности распределения х мы образуем последовательность областей содержащих х. Первая область будет соответствовать одной выборке, вторая — двум и т. д. Пусть будет объемом количеством выборок, попадающих в оценкой

Если должна сойтись к то, по-видимому, нужны три условия:

Первое условие обеспечивает сходимость пространственно усредненного при однородном сокращении областей и при непрерывности в х. Второе условие, имеющее смысл только при обеспечивает сходимость (по вероятности) отношения частот к вероятности Р.

Совершенно ясно, что третье условие необходимо, если заданная соотношением (5), вообщедолжна сойтись. Это условие говорит также о том, что, хотя в конечном счете в небольшую область попадает огромное количество выборок, оно составит лишь незначительно малую часть всего количества выборок.

Существуют два общих способа получения последовательностей областей, удовлетворяющих этим условиям. Первый способ заключается в сжатии начальной области за счет определения объема как некоторой функции от , такой, чтобы Затем следует показать, что случайные величины ведут себя правильно или, имея в виду существо дела, что сходится к . В этом заключается метод парзеновского окна, рассматриваемый в следующем разделе. Во втором методе определяется как некоторая функция

от Здесь объем увеличивается до тех пор, пока не охватит «соседей» х. Это метод оценки по ближайшим соседям. Оба эти метода действительно обеспечивают сходимость, хотя трудно сказать что-либо определенное об их поведении при конечном числе выборок.