7.4. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ СГЛАЖИВАНИЕ

В предыдущем разделе мы познакомили читателя с классическим методом борьбы с шумом путем усреднения.

Рис. 7.7а. Пример регуляризации для одномерного случая.

Рис. 7.76. Другой пример регуляризации для одномерного случая.

Хотя нашей непосредственной целью была оценка градиента функции, очевидно, что тот же метод в более общем случае может быть использован для «очистки» изображения от шума. Как и прежде, основная идея заключается в том, чтобы заменить величину уровня полутонов в

точке средним значением функции интенсивности в ее непосредственной окрестности. Опасность при усреднении заключается, конечно, в том, что в результате расплываются детали. Для простоты рассмотрим сначала случай с одномерной аналоговой функцией интенсивности . Сглаженная версия определяется формулой

Этот процесс называется регуляризацией функций. Методами анализа нетрудно доказать, что регуляризация сглаживает функции в некотором точном смысле слова: если функция разрывна, то функция непрерывна, и если — непрерывная функция, то имеет непрерывную производную. Эти свойства проиллюстрированы на рис. 7.7 а и 7.76. Заметим, что ширина «переходной области» функции зависит от размера окна. В результате увеличения окна w изображение становится еще более расплывчатым. Наоборот, чем меньше становится окно w, тем точнее функция аппроксимирует функцию Регуляризованная функция называется также скользящим или текущим средним функции

Этот процесс регуляризации непосредственно обобщается на двумерный случай. Для заданной аналоговой функции интенсивности определим регуляризованную функцию выражением

где — окно произвольной формы на плоскости изображения с площадью вокруг точки . В случае дискретной функции интенсивности ее сглаженный варианту определим формулой

где, как и прежде, — окно площадью А, окружающее элемент Естественно возникает мысль об использовании окна какой-нибудь простой геометрической формы. Если мы решим использовать прямоугольное окно с основанием и высотой , то регуляризованный вариант функции примет следующий вид:

В качественном отношении регуляризация изображения имеет много общего с расфокусировкой камеры, причем большое окно

усреднения соответствует сильной расфокусировке. Этот эффект часто совершенно противоположен тому, что нам хотелось бы получить, поскольку мы предпочитаем иметь дело с возможно более резким и четким изображением. Поэтому регуляризация используется избирательно для определенных целей. Один из случаев, в которых она полезна, связан с обработкой бинарных дискретных изображений. Бинарное изображение, как и следовало ожидать, — это изображение только из черных и белых элементов; для любой точки величина либо равна 0 (черное), либо 1 (белое). Множество элементов, для которых функция называется объектом; множество элементов, для которых называется фоном.

Рис. 7.8.

Рис. 7.9. Пример регуляризации для двумерного случая.

Бинарные изображения представляют значительный интерес как сами по себе, так и потому, что они являются результатом других операций по обработке изображения (рис. 7.3 есть бинарное изображение). Для сглаживания бинарного изображения применяется сравнение функции с порогом. Если она превышает порог, то значение сглаженной функции равно 1.

Рис. 7.10.

Рис. 7.11. Другой пример регуляризации для двумерного случая.

В противном случае это значение равно 0. Операцию такого типа можно использовать для того, чтобы сделать контур объекта на бинарном изображении более правильным. Предположим, например, что мы применяем окно размером и установили порог равным 0,4. Этот

оператор присвоил бы элементу на сглаженном изображении значение 1 в том и только том случае, если по крайней мере 4 элемента в окне, окружающем элемент были бы 1. В результате сглаживания простого бинарного изображения, показанного на рис. 7.8, получается изображение (рис. 7.9), где мы видим, что выступ контура в верхнем левом углу объекта удален (пустые клетки соответствуют 0). С другой стороны, если ту же самую операцию сглаживания применить к несвязному объекту, показанному на рис. 7.10, в результате получится изображение (рис. 7.11), на котором видно, что промежуток, разделяющий обе половины объекта, целиком заполнен. Если бы мы считали промежуток толщиной в один элемент существенным, то нас несколько разочаровали бы результаты работы данного оператора сглаживания. Другими словами, даже эти очень простые примеры показывают, что регуляризация — это обоюдоострый меч, с которым необходимо обращаться осторожно.

Для бинарных изображений существует еще один метод сглаживания, который часто позволяет добиться более точного контроля, чем при регуляризации. Этот метод называется логическим усреднением или логическим сглаживанием. Он основан на том, что элементы изображения, которые находятся в пределах усредняющего окна, могут трактоваться как булевы или логические переменные, и величина сглаженной функции интенсивности в точке может быть определена любой булевой функцией этих переменных. В качестве примера предположим, что мы хотим построить логический оператор сглаживания со следующими характеристиками:

а) элемент «0» заменяется на элемент «1» в том и только том случае, если все соседние элементы суть «1»;

б) элемент «1» заменяется на элемент «0» в том и только том случае, если все соседние элементы суть «0».

Для того чтобы удовлетворить этим условиям, нужен оператор, который будет заменять изолированные нули и единицы их логическими дополнениями и оставлять другие части изображения неизменными. Такой оператор целесообразно применять при борьбе с так называемым шумом типа «соль и перец», чье действие на бинарное изображение сводится к случайной замене некоторых элементов их логическими дополнениями. Логический оператор сглаживания, использующий окно размером 3х3 и обладающий требуемыми качествами, можно задать, обозначив для простоты элементы изображения в этом окне так:

Определим величину т. е. новое значение интенсивности изображения в центральном элементе окна, с помощью формулы

где означает «а или b», а означает «не а» и означает и b». Легко убедиться, что эта логическая функция обладает нужными качествами. Новое значение есть 1 в том и только том случае, если есть 0 и все соседние элементы суть 1 или если само равно 1 и по крайней мере один из окружающих его элементов равен 1. Преимущество логического сглаживания по сравнению с регуляризацией заключается в том, что логическое сглаживание позволяет задавать более сложные условия, при которых значение элемента должно меняться. Более того, регуляризация (для бинарных изображений) — это частный случай логического сглаживания, так как численные операции регуляризации также могут определяться с помощью булева выражения. Можно построить и другие булевы операторы, предназначенные специально для борьбы с особыми видами помех или для использования предварительных знаний об изображениях, с которыми предполагается работать.