7.3. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Как мы отметили ранее, процесс анализа сцены является по существу процессом упрощения — сложный объект (исходное изображение) превращается в более простой с помощью нескольких последовательных операций. Естественным этапом этой последовательности является превращение исходного изображения в контурный рисунок. Мы надеемся, что такой шаг сохранил бы существенные детали исходного изображения, сократив в то же время объем вычислений при последующих операциях. Для перехода к контурным изображениям существуют также психологические мотивы. Эксперименты показали, что внимание человека концентрируется в основном на границах между более или менее однородными областями. Мы признаем, конечно, что упрощение изображения до контурного рисунка связано с некоторым риском. Контурное изображение обычно содержит меньше информации, чем исходное, и нет гарантии, что Потерянная информация является несущественной. Пока, однако, мы примем, что преобразование изображения в контурный рисунок является при некоторых обстоятельствах полезным, и сосредоточим наше внимание на способах осуществления этой операции.

Контурное изображение может быть получено из исходного путем выделения областей, содержащих резкие переходы от темного к светлому, и подавления областей с примерно однородной интенсивностью. Другими словами, контуры есть края, а края — это по определению переходы между двумя существенно различными интенсивностями. На языке функций интенсивности край — это область плоскости (X, Y), где велик градиент функции g(x, у). Для получения контурного рисунка, таким образом, требуется оценка величины модуля градиента функции. Эту величину можно вычислить, если известны производные этой функции по каким-либо двум ортогональным направлениям. Следовательно, нужно только выбрать два ортогональных направления и способ приближенного вычисления (одномерной) производной, чтобы иметь все необходимые составляющие алгоритма получения контурных рисунков.

В качестве примера, представляющего интерес в историческом и практическом плане, аппроксимируем модуль градиента в точке изображения следующим образом:

Заметим, что здесь в качестве ортогональных направлений выбраны линии, наклон которых равен Схематически мы рассматриваем для клетки окно размером элементы которого по

диагонали связаны операцией вычитания:

Направленная производная для каждого направления аппроксимируется просто разностью соседних элементов. Оператор иногда называют перекрестным оператором Робертса. Рассмотрим пока качественно, в чем заключается его действие. Если точка находится в области однородной интенсивности, значение как и можно было ожидать, равно 0.

(см. скан)

Рис. 7.3. Градиентное изображение.

Если между столбцами наблюдается перепад интенсивности, имеет большую величину; то же самое происходит, если перепад наблюдается между строками i и . Для повышения скорости вычислений перекрестный оператор Робертса часто упрощают путем использования абсолютных значений вместо квадратов и квадратных корней. Определим оператор

Ясно, что в качественном отношении ведет себя так же, как и

На рис. 7.3 показан результат применения оператора F к дискретному изображению рис. 7.2 с последующим выводом на экран элементов для которых Наиболее заметный дефект этого изображения заключается в том, что задний край клина потерян. Как мы отмечали выше, между интенсивностями с обеих сторон от пропавшей линии существует разность только в один полутоновый уровень квантования. Если такую разность считать существенной и сделать пороговую величину меньше 2, появится недопустимо большое число «ложных» линий на полу и на стене. В целом, однако, большое количество «существенной» информации, содержащейся в рис. 7.2 здесь сохранилось.

Теперь отвлечемся на некоторое время и поговорим о терминологии. Изображение, показанное на рис. 7.3, называют обычно градиентным изображением.

Рис. 7.4. Идеальный край.

Процесс получения градиентного изображения широко известен каК пространственное дифференцирование, выделение контуров, повышение резкости или просто взятие градиента. Строго говоря, на рис. 7.3 показано градиентное изображение, ограниченное порогом. Так как пороговое ограничение градиентного изображения является весьма обычным приемом, изображение до этой операции неточно называют аналоговым градиентным изображением, каким оно, конечно, не является.

Во избежание дальнейшей путаницы оставим пока терминологические рассуждения.

Теперь рассмотрим несколько подробнее задачу взятия градиента. Трудность здесь порождается существованием шумов. Мы можем сказать, что с точки зрения теории связи дискретная функция интенсивности есть сумма двух функций: «идеального» изображения или сигнала и чисто шумового изображения Проблема возникает из-за того, что на самом деле мы хотим оценить градиент не суммы g, а идеального изображения s. Для иллюстрации этого ограничимся одномерным случаем и для простоты рассмотрим только аналоговые функции. На рис. 7.4 показана одномерная

идеальная функция интенсивности которая претерпевает резкое изменение вблизи точки . К сожалению, в нашем распоряжении имеется только сумма Какая же процедура подойдет для оценки положения точки по функции Интуиция подсказывает, что решение должно быть связано с операцией усреднения.

Рис. 7.5. Реальный край.

Рис. 7.6. Окна усреднения.

Нам желательно сгладить функцию настолько, чтобы подавить в среднем самый сильный шум, но в то же время не в такой степени, чтобы сделать совершенно незаметным скачок функции s. Действуя эмпирически, можно было бы определить оператор оценки производной формулой

Как показано на рис. 7.6, этот оператор выделяет два интервала («окна») длиной непосредственно перед точкой х и после нее, усредняет функцию g по каждому из этих, «окон» и вычисляет разность средних величин. Если выбрано окно подходящих размеров, подобный оператор может работать очень хорошо. Для расчета градиента в двумерном изображении точно так же требуется некоторая комбинация усреднения и взятия разностей. По этому принципу был построен ряд операторов для оценки градиента, использующих окна различных размеров.

В качестве примера оператора оценки градиента, использующего окно размером рассмотрим следующий оператор, в котором для простоты элементы изображения в этом окне обозначены так:

Определим величину формулой

и величину формулой

Тогда градиент в точке можно либо определить с помощью выражения

либо использовать более эффективное с точки зрения скорости вычислений выражение

Остановимся на определении Это определение представляет собой попытку оценить частную производную функции интенсивности в направлении X. Сначала формируются два взвешенных средних значения для оценки интенсивности в точках и d (нормирующие множители Опущены). Затем для расчета частной производной берется разность этих взвешенных средних. Аналогичная операция выполняется при вычислении . Константы взвешивания 1, 2, 1 выбраны, лишь исходя из интуитивных соображений. В следующей главе мы рассмотрим эту проблему с большей математической строгостью и обсудим требования к «оптимальному» оператору оценки градиента.