10.3. ПЕРСПЕКТИВНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ОДНОРОДНЫХ КООРДИНАТАХ

10.3.1. ПРЯМОЕ ПЕРСПЕКТИВНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Математические соотношения для перспективных преобразований могут быть записаны в другой полезной форме, если мы сначала займемся вопросом представления векторов в однородных координатах. Основная идея заключается в том, чтобы превратить нелинейные преобразования формул (1) и (2) в линейные в другой системе координат. Заметим, что преобразование (1) не может быть линейным, так как координата Y точки объекта появляется в знаменателе. Имея это в виду, определим однородные координаты v точки с помощью формулы где w — произвольная константа. Ясно, что действительные декартовы координаты точки v могут быть получены из ее однородных координат путем деления каждой из первых трех компонент однородного вектора на четвертую компоненту. Однородные координаты, как можно видеть, являются искусственным приемом для выполнения операции деления ценой увеличения размерности пространства на единицу. Заметим, что однородные векторы, различающиеся только масштабным множителем, представляют одну и ту же физическую

точку. Таким образом, оба однородных вектора представляют одну и ту же физическую точку Чтобы обозначать представление произвольного вектора в однородных координатах, мы будем всегда использовать тильду

Выше мы предположили, что прямое перспективное преобразование, заданное формулами (1), является линейным, когда оно записано в однородных координатах. Теперь мы утверждаем, что при соответствующей интерпретации матрица

    (3)

является действительно линейным преобразованием, которое переводит точку объекта (записанную в однородных координатах) в точку изображения (также записанную в однородных координатах); другими словами, мы утверждаем, что Чтобы проверить правильность этого утверждения, выполним указанные вычисления. Мы получим, что для данной точки объекта соответствующая точка изображения (в однородных координатах) определяется формулой

Разделив каждую из первых трех компонент на четвертую, получаем декартовы координаты точки изображения в следующем виде:

Заметим, что вторая компонента в формуле (5) не равна нулю во всех случаях, когда не равна нулю компонента У точки объекта, и это не согласуется с физической реальностью, отображенной на рис. 10.2. Мы вскоре увидим, что вторая компонента точки изображения в математическом плане является свободной переменной в обратном перспективном преобразовании. В данный момент мы отложим

обсуждение роли второй компоненты и подчеркнем, что первая и третья компоненты в формуле (5) согласуются с результатами, полученными из подобия треугольников в выражении (1).