Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6.5. БАЙЕСОВСКОЕ ОБУЧЕНИЕ БЕЗ УЧИТЕЛЯ6.5.1. БАЙЕСОВСКИЙ КЛАССИФИКАТОРМетоды максимума правдоподобия не рассматривают вектор параметров практике такое знание можно использовать для выбора хорошей начальной точки при процедуре подъема на вершину. В этом разделе мы используем байесовский подход к обучению без учителя. Предположим, что Начнем с четкого определения основных предположений. Предполагаем, что 1. Число классов известно. 2. Априорные вероятности 3. Вид условных по классу плотностей 4. Часть знаний о 5. Остальная часть знаний о
После этого мы могли бы непосредственно начать вычисление Покажем явно роль выборок, записав это в виде
Так как выбор состояния природы
Введем вектор неизвестных параметров, написав
Поскольку сам х не зависит от выборок, то Таким образом, получаем
То есть наша наилучшая оценка для 6.5.2. ОБУЧЕНИЕ ВЕКТОРУ ПАРАМЕТРОВИспользуя правило Байеса, можем написать
где независимость выборок приводит к
С другой стороны, обозначив через
Это основные соотношения для байесовского обучения без учителя. Уравнение (20) подчеркивает связь между байесовским решением и решением по максимуму правдоподобия. Если
То есть эти условия оправдывают использование оценки по максимуму правдоподобия, используя ее в качестве истинного значения 0 при создании байесовского классификатора. Естественно, если плотность она будет далека от равномерной и это решающим образом повлияет на Тогда это и есть формальное байесовское решение задачи обучения без учителя. В ретроспективе тот факт, что обучение без учителя параметрам плотности смеси тождественно обучению с учителем параметрам плотности компонент, не является удивительным. Действительно, если плотность компонент сама по себе является смесью, то тогда действительно не будет существенной разницы между этими двумя задачами. Однако существуют значительные различия между обучениями с учителем и без учителя. Одно из главных различий касается вопроса идентифицируемости. При обучении с учителем отсутствие идентифицируемости просто означает, что вместо получения единственного вектора параметров мы получаем эквивалентный класс векторов параметров. Однако, поскольку все это приводит к той же плотности компонент, отсутствие идентифицируемости представляет теоретических трудностей. При обучении без учителя отсутствие идентифицируемости представляет более серьезные трудности. Когда 0 нельзя определить единственным образом, смесь нельзя разложить на ее истинные компоненты. Таким образом, в то время как Другая серьезная проблема для обучения без учителя —
и поэтому остается мало надежды найти простые точные решения для представления
Но по формулам (21) и (1) имеем
Таким образом, Другой способ сравнения обучения с учителем и без учителя состоит в подстановке плотности смеси
Если мы рассматриваем особый случай, где
Сравним уравнения (23) и (24), чтобы увидеть, как дополнительная выборка изменяет нашу оценку 0. В каждом случае мы можем пренебречь знаменателем, который не зависит от Предполагая, что выборка действительно принадлежит классу 1, мы видим, что незнание принадлежности какому-либо классу в случае обучения без учителя приводит к уменьшению влияния изменение 6.5.3. ПРИМЕРРассмотрим одномерную двухкомпонентную смесь с
Рассматриваемая как функция от х, эта плотность смеси представляет собой суперпозицию двух нормальных плотностей, причем одна имеет пик при
где С добавлением второй выборки
(см. скан) Рис. 6.5. Байесовское обучение без учителя. (см. скан) Рис. 6.6. Эффект сужения априорной плотности. К сожалению, первое, что мы узнаем из этого выражения, — это то, что Возможно использование соотношения
и численного интегрирования для того, чтобы получить приближенное числовое решение Одно из основных различий между байесовским и подходом по максимуму правдоподобия при обучении без учителя связано с априорной плотностью 6.5.4. АППРОКСИМАЦИЯ НА ОСНОВЕ ПРИНЯТИЯ НАПРАВЛЕННЫХРЕШЕНИЙ Хотя задачу обучения без учителя можно поставить просто как задачу определения параметров плотности смеси, ни метод максимума правдоподобия, ни байесовский подход не дают простых аналитических результатов. Точные решения даже простейших нетривиальных примеров ведут к необходимости применения численных методов; объем вычислений при этом растет экспоненциально в зависимости от числа выборок. Задача обучения без учителя слишком важна, чтобы отбросить ее только из-за того, что точные решения слишком трудно найти, и поэтому были предложены многочисленные процедуры получения приближенных решений. Так как основное различие между обучением с учителем и без учителя состоит в наличии или отсутствии меток для выборок, очевидным подходом к обучению без учителя является использование априорной информации для построения классификатора и использования решений этого классификатора для пометки выборок. Такой подход называется подходом принятия направленных решений при обучении без учителя и составляет основу для различных вариаций. Его можно применять последовательно путем обновления классификатора каждый раз, когда классифицируется непомеченная выборка. С другой стороны, его можно применить при параллельной классификации, то есть подождать, пока все С подходом принятия направленных решений связаны некоторые очевидные опасности. Если начальный классификатор не достаточно хорош или если встретилась неудачная последовательность выборок, ошибки классификации непомеченных выборок могут привести к неправильному построению классификатора, что в свою очередь приведет к решению, очень приблизительно соответствующему одному из меньших максимумов функции правдоподобия. Даже если начальный классификатор оптимален, результат пометки не будет соответствовать истинной принадлежности классам; классификация исключит выборки из хвостов желаемого распределения и включит выборки из хвостов других распределений. Таким образом, если имеется существенное перекрытие между плотностями компонент, можно ожидать смещения оценок и неоптимальных результатов. Несмотря на эти недостатки, простота процедур направленных решений делает байесовский подход доступным для численных методов, а решение с изъянами чаще лучше, чем отсутствие решения. При благоприятных условиях можно получить почти оптимальный результат при небольших вычислительных затратах. В литературе имеется несколько довольно сложных методов анализа специальных процедур направленных решений и сообщения о результатах экспериментов. Основной вывод состоит в том, что большинство этих процедур работает хорошо, если параметрические предположения правильны, если перекрытие между плотностями компонент невелико и если начальный классификатор составлен хотя бы приблизительно правильно.
|
1 |
Оглавление
|