11.2. СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ

Проективный инвариант фундаментальной важности известен под различными названиями: сложное, двойное или ангармоническое отношение. Как мы вскоре увидим, сложное отношение само по себе связано с «одномерными изображениями».

Рис. 11.2. Пучок из яетырех линий, пересекающих два ряда точек.

Однако оно может быть включено в двумерный случай и поэтому представляет для нас большой интерес. Введем сначала несколько основных терминов.

Любое множество линий, проходящих через одну точку, называется пучком линий или просто пучком. На рис. 11.2 показан пучок, состоящий из четырех линий 1, 2, 3, 4, лежащих в одной плоскости; общая точка L называется центром пучка. Подобным же образом всякое множество точек, лежащих на одной линии, называется рядом точек или просто рядом. На рис. 11.2 показаны два ряда точек, лежащих соответственно на линиях X и Y. Как правило, мы не хотим делать различие между обозначением

прямой и обозначением ряда точек, и в случае рис. 11.2 мы гойорим о двух рядах X и Y. Ряды X и Y являются двумя сечениями пучка с центром в L и, как говорят, находятся в перспективном соответствии (или просто перспективны). Заметим, что рис. 11.2 можно интерпретировать как модель процесса съемки одномерного изображения одномерного объекта, в которой X представляет собой объект, Y — изображение, центр объектива. Рассмотрим теперь рис. 11.3. Ряды X и Y находятся в перспективном соответствии, как и ряды Y и Z.

Рис. 11.3. Проективные и перспективные соответствия.

Поэтому говорят, что два ряда X и Z находятся в проективном соответствии (или просто проективны). В общем случае два ряда проективны, если они связаны цепью перспективных соответствий. В проективной геометрии есть интересная теорема о том, что любые два проективных ряда могут быть связаны цепью по крайней мере из двух перспективных соответствий. Другими словами, для любых двух проективных рядов существует третий, находящийся в перспективном соответствии с обоими. Следовательно, два проективных ряда всегда могут быть изображениями одного и того же (одномерного) объекта. В терминах рис. 11.3, если нам даны два изображения, состоящие из рядов X и Z, необходимое условие того, что они показывают один и тот же объект, сводится к тому,

что X и Z должны быть в проективном соответствии. Сложное отношение представляет собой количественную меру проективности двух различных рядов и поэтому приводит к решению задачи второго ракурса для случая одномерны объектов и изображений.

Рассмотрим теперь рис. 11.4, на котором показаны два перспективных ряда X и Y, пересекающих пучок из четырех линий. Примем X и Y за оси косоугольной декартовой системы координат. Обозначим через координаты центра пучка в этой системе, через координаты ряда точек на оси X и через координаты ряда точек на

Рис. 11.4. К выводу сложного отношенйя.

Нетрудно убедиться, что для линии пучка должно выполняться условие

Вычитая соответствующие уравнения для линий, получим

Обозначим временно это уравнение через Разделив произведение уравнений «3,1» и «2,4» на произведение уравнений «2, 1 и «3, 4», получим

Каждая из двух частей уравнения (1) называется сложным отношением перспективных рядов из четырех точек и обозначается (для

левой части) через Заметим, что сложное отношение не зависит от координат центра пучка. Следовательно, уравнение (1) показывает, что любые два сечения пучка из четырех линий имеют одно и то же сложное отношение. Определим тогда естественным образом сложное отношение пучка из четырех линий как сложное отношение любого из его сечений. Уравнение (1) устанавливает также результат для двух пучков: если они имеют общий ряд, они должны иметь тогда одинаковое сложное отношение. Следовательно, если мы продвигаемся по цепи последовательных перспективных соответствий от одного ряда к другому, сложное отношение не изменяется.

Рис. 11.5. Два пучка, лежащие в разных плоскостях.

Поэтому сложное отношение является проективным признаком, или проективным инвариантом, оно не изменяется при центральном проектировании. Иначе говоря, два ряда проективны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое сложное отношение. На рис. 11.3 ряды X и Z имеют одинаковое сложное отношение, а именно сложное отношение ряда У, который является общим для обоих пучков. Мы пришли поэтому к одномерному варианту решения задачи второго ракурса: необходимое условие того, что два (одномерных) изображения показывают один и тот же объект, состоит в том, что любые два множества, составленные из четырех соответственных точек изображений, должны иметь одинаковое сложное отношение.

Сделаем еще несколько замечаний, прежде чем оставить в покое сложное отношение. Во-первых, поскольку сложное отношение зависит только от разностей, оно независимо от начала координат. Поэтому, чтобы вычислить сложное отношение пучка, нет необходимости строить конструкцию, подобную показанной на рис. 11.4. Во-вторых, два пучка, лежащие в разных плоскостях, могут иметь одинаковое сложное отношение; например, на рис. 11.5 два пучка

имеют общий ряд на пересечении двух плоскостей и, таким образом, имеют одинаковое сложное отношение. И наконец, мы видим, что имеется несколько возможных определений сложного отношения, зависящих от порядка, в котором помечены точки. Если поменять местами метки четырех точек ряда, получится другое сложное отношение. Можно показать, что из 24 различных возможностей разметки только шесть дают отличные от других определения сложного отношения. (Довольно интересно то, что эта шестерка образует группу по отношению к некоторой подходящей композиционной операции.) В данной главе мы примем в качестве стандарта сложное отношение, задаваемое каждой из частей уравнения (1), и подчеркнем, что разметка точек должна выполняться так, чтобы сохранить его постоянство.