Главная > Распознавание образов и анализ сцен
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

11.2. СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ

Проективный инвариант фундаментальной важности известен под различными названиями: сложное, двойное или ангармоническое отношение. Как мы вскоре увидим, сложное отношение само по себе связано с «одномерными изображениями».

Рис. 11.2. Пучок из яетырех линий, пересекающих два ряда точек.

Однако оно может быть включено в двумерный случай и поэтому представляет для нас большой интерес. Введем сначала несколько основных терминов.

Любое множество линий, проходящих через одну точку, называется пучком линий или просто пучком. На рис. 11.2 показан пучок, состоящий из четырех линий 1, 2, 3, 4, лежащих в одной плоскости; общая точка L называется центром пучка. Подобным же образом всякое множество точек, лежащих на одной линии, называется рядом точек или просто рядом. На рис. 11.2 показаны два ряда точек, лежащих соответственно на линиях X и Y. Как правило, мы не хотим делать различие между обозначением

прямой и обозначением ряда точек, и в случае рис. 11.2 мы гойорим о двух рядах X и Y. Ряды X и Y являются двумя сечениями пучка с центром в L и, как говорят, находятся в перспективном соответствии (или просто перспективны). Заметим, что рис. 11.2 можно интерпретировать как модель процесса съемки одномерного изображения одномерного объекта, в которой X представляет собой объект, Y — изображение, центр объектива. Рассмотрим теперь рис. 11.3. Ряды X и Y находятся в перспективном соответствии, как и ряды Y и Z.

Рис. 11.3. Проективные и перспективные соответствия.

Поэтому говорят, что два ряда X и Z находятся в проективном соответствии (или просто проективны). В общем случае два ряда проективны, если они связаны цепью перспективных соответствий. В проективной геометрии есть интересная теорема о том, что любые два проективных ряда могут быть связаны цепью по крайней мере из двух перспективных соответствий. Другими словами, для любых двух проективных рядов существует третий, находящийся в перспективном соответствии с обоими. Следовательно, два проективных ряда всегда могут быть изображениями одного и того же (одномерного) объекта. В терминах рис. 11.3, если нам даны два изображения, состоящие из рядов X и Z, необходимое условие того, что они показывают один и тот же объект, сводится к тому,

что X и Z должны быть в проективном соответствии. Сложное отношение представляет собой количественную меру проективности двух различных рядов и поэтому приводит к решению задачи второго ракурса для случая одномерны объектов и изображений.

Рассмотрим теперь рис. 11.4, на котором показаны два перспективных ряда X и Y, пересекающих пучок из четырех линий. Примем X и Y за оси косоугольной декартовой системы координат. Обозначим через координаты центра пучка в этой системе, через координаты ряда точек на оси X и через координаты ряда точек на

Рис. 11.4. К выводу сложного отношенйя.

Нетрудно убедиться, что для линии пучка должно выполняться условие

Вычитая соответствующие уравнения для линий, получим

Обозначим временно это уравнение через Разделив произведение уравнений «3,1» и «2,4» на произведение уравнений «2, 1 и «3, 4», получим

Каждая из двух частей уравнения (1) называется сложным отношением перспективных рядов из четырех точек и обозначается (для

левой части) через Заметим, что сложное отношение не зависит от координат центра пучка. Следовательно, уравнение (1) показывает, что любые два сечения пучка из четырех линий имеют одно и то же сложное отношение. Определим тогда естественным образом сложное отношение пучка из четырех линий как сложное отношение любого из его сечений. Уравнение (1) устанавливает также результат для двух пучков: если они имеют общий ряд, они должны иметь тогда одинаковое сложное отношение. Следовательно, если мы продвигаемся по цепи последовательных перспективных соответствий от одного ряда к другому, сложное отношение не изменяется.

Рис. 11.5. Два пучка, лежащие в разных плоскостях.

Поэтому сложное отношение является проективным признаком, или проективным инвариантом, оно не изменяется при центральном проектировании. Иначе говоря, два ряда проективны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое сложное отношение. На рис. 11.3 ряды X и Z имеют одинаковое сложное отношение, а именно сложное отношение ряда У, который является общим для обоих пучков. Мы пришли поэтому к одномерному варианту решения задачи второго ракурса: необходимое условие того, что два (одномерных) изображения показывают один и тот же объект, состоит в том, что любые два множества, составленные из четырех соответственных точек изображений, должны иметь одинаковое сложное отношение.

Сделаем еще несколько замечаний, прежде чем оставить в покое сложное отношение. Во-первых, поскольку сложное отношение зависит только от разностей, оно независимо от начала координат. Поэтому, чтобы вычислить сложное отношение пучка, нет необходимости строить конструкцию, подобную показанной на рис. 11.4. Во-вторых, два пучка, лежащие в разных плоскостях, могут иметь одинаковое сложное отношение; например, на рис. 11.5 два пучка

имеют общий ряд на пересечении двух плоскостей и, таким образом, имеют одинаковое сложное отношение. И наконец, мы видим, что имеется несколько возможных определений сложного отношения, зависящих от порядка, в котором помечены точки. Если поменять местами метки четырех точек ряда, получится другое сложное отношение. Можно показать, что из 24 различных возможностей разметки только шесть дают отличные от других определения сложного отношения. (Довольно интересно то, что эта шестерка образует группу по отношению к некоторой подходящей композиционной операции.) В данной главе мы примем в качестве стандарта сложное отношение, задаваемое каждой из частей уравнения (1), и подчеркнем, что разметка точек должна выполняться так, чтобы сохранить его постоянство.

1
Оглавление
email@scask.ru