Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
11.2. СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕПроективный инвариант фундаментальной важности известен под различными названиями: сложное, двойное или ангармоническое отношение. Как мы вскоре увидим, сложное отношение само по себе связано с «одномерными изображениями».
Рис. 11.2. Пучок из яетырех линий, пересекающих два ряда точек. Однако оно может быть включено в двумерный случай и поэтому представляет для нас большой интерес. Введем сначала несколько основных терминов. Любое множество линий, проходящих через одну точку, называется пучком линий или просто пучком. На рис. 11.2 показан пучок, состоящий из четырех линий 1, 2, 3, 4, лежащих в одной плоскости; общая точка L называется центром пучка. Подобным же образом всякое множество точек, лежащих на одной линии, называется рядом точек или просто рядом. На рис. 11.2 показаны два ряда точек, прямой и обозначением ряда точек, и в случае рис. 11.2 мы гойорим о двух рядах X и Y. Ряды X и Y являются двумя сечениями пучка с центром в L и, как говорят, находятся в перспективном соответствии (или просто перспективны). Заметим, что рис. 11.2 можно интерпретировать как модель процесса съемки одномерного изображения одномерного объекта, в которой X представляет собой объект, Y — изображение,
Рис. 11.3. Проективные и перспективные соответствия. Поэтому говорят, что два ряда X и Z находятся в проективном соответствии (или просто проективны). В общем случае два ряда проективны, если они связаны цепью перспективных соответствий. В проективной геометрии есть интересная теорема о том, что любые два проективных ряда могут быть связаны цепью по крайней мере из двух перспективных соответствий. Другими словами, для любых двух проективных рядов существует третий, находящийся в перспективном соответствии с обоими. Следовательно, два проективных ряда всегда могут быть изображениями одного и того же (одномерного) объекта. В терминах рис. 11.3, если нам даны два изображения, состоящие из рядов X и Z, необходимое условие того, что они показывают один и тот же объект, сводится к тому, что X и Z должны быть в проективном соответствии. Сложное отношение представляет собой количественную меру проективности двух различных рядов и поэтому приводит к решению задачи второго ракурса для случая одномерны объектов и изображений. Рассмотрим теперь рис. 11.4, на котором показаны два перспективных ряда X и Y, пересекающих пучок из четырех линий. Примем X и Y за оси косоугольной декартовой системы координат. Обозначим через
Рис. 11.4. К выводу сложного отношенйя. Нетрудно убедиться, что для
Вычитая соответствующие уравнения для
Обозначим временно это уравнение через
Каждая из двух частей уравнения (1) называется сложным отношением перспективных рядов из четырех точек и обозначается (для левой части) через
Рис. 11.5. Два пучка, лежащие в разных плоскостях. Поэтому сложное отношение является проективным признаком, или проективным инвариантом, оно не изменяется при центральном проектировании. Иначе говоря, два ряда проективны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое сложное отношение. На рис. 11.3 ряды X и Z имеют одинаковое сложное отношение, а именно сложное отношение ряда У, который является общим для обоих пучков. Мы пришли поэтому к одномерному варианту решения задачи второго ракурса: необходимое условие того, что два (одномерных) изображения показывают один и тот же объект, состоит в том, что любые два множества, составленные из четырех соответственных точек изображений, должны иметь одинаковое сложное отношение. Сделаем еще несколько замечаний, прежде чем оставить в покое сложное отношение. Во-первых, поскольку сложное отношение зависит только от разностей, оно независимо от начала координат. Поэтому, чтобы вычислить сложное отношение пучка, нет необходимости строить конструкцию, подобную показанной на рис. 11.4. Во-вторых, два пучка, лежащие в разных плоскостях, могут иметь одинаковое сложное отношение; например, на рис. 11.5 два пучка имеют общий ряд на пересечении двух плоскостей и, таким образом, имеют одинаковое сложное отношение. И наконец, мы видим, что имеется несколько возможных определений сложного отношения, зависящих от порядка, в котором помечены точки. Если поменять местами метки четырех точек ряда, получится другое сложное отношение. Можно показать, что из 24 различных возможностей разметки только шесть дают отличные от других определения сложного отношения. (Довольно интересно то, что эта шестерка образует группу по отношению к некоторой подходящей композиционной операции.) В данной главе мы примем в качестве стандарта сложное отношение, задаваемое каждой из частей уравнения (1), и подчеркнем, что разметка точек должна выполняться так, чтобы сохранить его постоянство.
|
1 |
Оглавление
|