10.5.3. ВЕРТИКАЛЬНЫЕ ЛИНИИ: ПЕРСПЕКТИВНОЕ ИСКАЖЕНИЕ

Изображения обладают несколькими интересными свойствами, которые могут быть выведены путем применения прямого преобразования (18) в простых физических ситуациях. Для нашей теперешней цели нам ненужна полная общность формулы (18); эффект, который мы хотим показать, можно продемонстрировать даже в том случае, когда все параметры, характеризующие положение камеры, равны нулю, за исключением одного угла наклона . В соответствии с этим мы возьмем и преобразуем выражение (18) в более простую форму:

Исследуем свойства изображения вертикальной линии. Вертикальная линия объекта вычерчивается точкой объекта

где координаты точки, в которой линия пересекает плоскость пола, и z — свободный параметр, значение которого берется среди всех вещественных чисел. Если мы подставим v в формулу (27) и исключим свободный параметр z из двух уравнений, то получим уравнение прямой линии на плоскости изображения

Анализ этого простого уравнения дает целый ряд интересных наблюдений. Наиболее важным является то, что точка пересечения с осью Z не зависит от положения самой вертикальной линии; она зависит только от того, действительно ли линия вертикальна. Таким образом, для данной геометрии камеры образы всех вертикальных линий проходят через одну точку вертикального схофа, координаты которой на изображении равны .

Рис. 10.4. Точки схода.

Рис. 10.4 иллюстрирует этот эффект на изображении единственного прямоугольного параллелепипеда, снятом камерой, сильно наклоненной вниз Читатель может проверить и другие свойства уравнения (28), которые согласуются с интуицией. Например, если увеличивается от нуля до 90°, точка вертикального схода передвигается к центру плоскости изображения, и наклон линии становится более пологим. Точно так же для любого заданного угла наклона камеры этот эффект становится более заметным, когда вертикальные лййии объекта передвигаются к периферии поля зрения (т. е. когда

становится большим по сравнению с ). Итак, точка вертикального схода может быть определена только по параметрам камеры, и она накладывает простое необходимое условие на изображения вертикальных линий.

10.5.4. ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ЛИНИИ И ТОЧКИ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО СХОДА

В качестве последнего примера использования перспективных преобразований исследуем некоторые свойства изображения горизонтальной линии. Для простоты мы будем рассматривать изображение линии объекта, лежащей на плоскости пола глобальной системы координат. Любая точка объекта , лежащая на такой линии, имеет где и b — соответственно наклон линии и длина отрезка, отсекаемого этой линией на координатной оси Y. Так как мы хотим снять изображение объекта, расположенного на полу, лучше, чтобы камера была поднята над полом и, может быть, направлена вниз. В соответствии этим мы возьмем геометрические параметры камеры в виде и пусть величина будет положительной, а — отрицательной. Для этих параметров прямое преобразование (18) упрощается следующим образом:

После подстановки в формулы (29) и исключения свободного параметра х из двух уравнений мы получим уравнение прямой линии на плоскости изображения

Не существует никаких особенно простых свойств ни у наклона этой линии изображения, ни у точек ее пересечения с координатными осями; рассмотрим, однако, пересечение этой линии изображения с линией горизонта данной картинки. Линия горизонта любого изображения определяется как пересечение плоскости изображения с плоскостью, проходящей через центр объектива параллельно полу. Как показано на боковой проекции рис. 10.5, уравнение линии горизонта (в координатах изображения) имеет вид Очевидно, что координата X точки пересечения линии изображения (30) с линией горизонта определяется приравниванием выражения (30) величине — . Решив полученное уравнение

относительно координаты точки пересечения с горизонтом находим, что

Этот результат можно было бы также получить посредством подстановки в первое уравнение выражения (29) и перехода к пределу при х, стремящемся к бесконечности. Следовательно, точка пересечения с горизонтом вполне заслуженно называется точкой горизонтального схода или точкой схода с горизонтом изображения данной линии; это предел, к которому стремится точка изображения в то время, как точка объекта удаляется в бесконечность вдоль прямой линии

Рис. 10.5. К расчету линии горизонта.

Мы можем сделать ряд интересных замечаний по поводу выражения (31). Во-первых, заметим, что точка схода не зависит от высоты камеры над плоскостью, содержащей линию объекта. Во-вторых, точка схода не зависит от параметра переноса b в уравнении линии объекта. Следовательно» мы можем сделать важный вывод, что любые две линии, параллельные плоскости пола, имеют одну и ту же точку схода в том и только том случае, если они параллельны друг другу. И наконец, предположим, что у нас есть две ортогональные линии объекта, лежащие на плоскости, параллельной полу. Пусть их наклоны будут а их точки схода с горизонтом ймеют координаты; и Поскольку эти линии ортогональны, . Следовательно, непосредственно из формулы (31) мы получаем

Две точки схода иногда называют сопряженными точками схода Так как их произведение — отрицательная величина, они всегда лежат по разные стороны от центральной линии изображения, как показано на рис. 10.4. Сопряженные точки схода являются примером того, каким образом заданное ограничение на объекты (а именно ортогональность) может быть преобразовано в простое ограничение на изображения.