10.4. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ДВУМЯ СИСТЕМАМИ ОТСЧЕТА

Преобразования, рассмотренные в предыдущем разделе, трудно использовать на практике из-за неприспособленности систем координат. Правда, одна система отсчета, изображенная на рис. 10.2, очень удобна для определения положений точек картинки; кроме того, она центрирована в центре плоскости изображения.

Рис. 10.3. Перспективное преобразование с двумя координатными системами.

В то же время, однако, единственная система координат весьма неудобна для определения положений точек объекта, так как она вынуждает нас измерять расстояние до ряда осей, расположение которых определяется камерой J). Другими словами, система, использованная в предыдущем разделе, является «камероцентрической», а это часто оказывается неестественным и неудобным. Для того чтобы исправить ситуацию, в идеальном случае нам необходимы две системы

координат: система координат изображения, в которой можно расположить точки картинки, и глобальная, или мировая, система координат для размещения всего остального. Рис. 10.3 иллюстрирует один из вариантов координатных систем, которые мы имеем в виду. Глобальная система отсчета, которая на рисунке обозначается буквами без штриха, используется для указания как положения камеры, так и точки объекта v. Камера перенесена относительно начала координат, повернута на угол и наклонена под углом . Точка изображения задается в системе координат изображения, помеченных штрихом на рис. 10.3; эта система совпадает с единственной системой отсчета, использованной в предыдущем разделе. В данном разделе мы будем использовать замену координат с тем, чтобы обобщить полученные ранее результаты на случай с двумя системами отсчета, показанный на рис. 10.3. Нашим окончательным результатом будет пара преобразований, в которых все величины заданы в системе координат, наиболее подходящей для их представления.

Прежде чем приступить к формальным операциям, мы хотели бы сделать одно замечание вспомогательного характера. Замена координат — это одна из таких процедур, которые, как известно, всегда можно выполнить, но мало кому нравится это делать. Поэтому нетерпеливый читатель может захотеть перейти сразу же к результатам, полученным в виде формул (18) и (26), убедившись сначала, что он понимает смысл геометрических параметров, описанных в следующем разделе. Для тех, кто интересуется подробностями, мы попытаемся свести до минимума путаницу, твердо придерживаясь следующих условий. Пусть символы со штрихом и без штриха будут представлять одну и ту же физическую точку, записанную со штрихом в системе координат изображения и без штриха в глобальной системе координат. Таким образом, оба символа v и v относятся к одной точке. Далее, с каждой из декартовых систем отсчета связано представление в однородных координатах, получаемое описанным выше стандартным образом. Мы по-прежнему будем использовать для обозначения тильду , так что оба символа v и v относятся в конечном счете к одной и той же физической точке, а именно к точке, декартовы координаты которой суть v в глобальной системе (без штриха) системе координат изображения.

10.4.1. ПРЯМОЕ ПЕРСПЕКТИВНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ: ДВЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

Полное преобразование координат, которое мы хотим получить, представляет собой соответствие между глобальной системой координат (без штриха) и системой координат изображения (со штрихом). Для того чтобы определить это соответствие, мы должны

определить положение и ориентацию системы координат изображения по отношению к глобальной системе. Это может быть сделано с помощью следующих трех шагов. Сначала мы переносим глобальную систему в центр вращения камеры (который можно назвать центром карданова шарнира). Затем мы поворачиваем и наклоняем оси так, чтобы ось Y стада параллельной оптической оси камеры. (Полученная в результате этого система отсчета будет называться кардановой системой координат.) И наконец, мы смещаем карданову систему отсчета из центра карданова шарнира в центр плоскости изображения. Введем несколько обозначений. Пусть будет вектор, проведенный из начала координат глобальной системы к центру карданова шарнира. Пусть угол поворота камеры, измеряемый против часовой стрелки от оси Y, и пусть угол наклона камеры, положительное значение которого отсчитывается вверх. Пусть вектор 1 изображает постоянное смещение между центром карданова шарнира и центром плоскости изображения, причем I измеряется в системе координат карданова шарнира Удобно записывать смещение 1 в виде чтобы при совмещении центра карданова шарнира с центром объектива получалось и постоянное смещение величины вдоль оптической оси. Для иллюстрации этих обозначений на рис. 10.3 схематически показаны вектор переноса со всеми положительными компонентами, положительные углы поворота и наклона и вектор смещения, первая компонента которого равна нулю.

Для получения нужных нам результатов преобразование координат может быть реально осуществлено обычным способом. Однако преобразование будет особенно изящным, если обратиться к однородным координатам; при этом чистый перенос, который является нелинейной операцией в обычных декартовых координатах, становится линейным. В частности, легко проверить, что матрица

переводит однородное представление вектора в однородное представление вектора . Более того, операция чистого вращения, являющаяся линейным преобразованием в трехмерных декартовых координатах, остается линейной и в однородных

координатах. Нетрудно проверить, что матрица

действительно является оператором вращения, который поворачивает на угол и наклоняет на угол Другими словами, если даны однородные координаты v некоторой точки в глобальной системе отсчета, то произведение дает однородные координаты той же самой точки в системе координат изображения, повернутой на угол и наклоненной на угол Наконец, матрица G для реализации смещения относительно карданова шарнира определяется аналогично выражению (12) следующим образом:

Следовательно, полное изменение системы отсчета, представленное в однородных координатах, выражается произведением матриц GRT. Придерживаясь договоренности о тильдах и штрихах, мы напишем

Здесь мы уже близки к конечной цели. Когда все точки представлены в координатах изображения, перспективное преобразование само по себе не вызывает никаких трудностей, как мы это видели в предыдущем разделе. Переписав формулу (4) со штрихами для того, чтобы обозначить координаты изображения, получим

Объединив изменение координат (15) с перспективным преобразованием (16), получим

    (17)

Преобразование (17) является формальным решением нашей задачи. Оно отображает точку объекта, представленную в однородных глобальных координатах, в точку изображения, представленную в однородных координатах картинки, со всеми геометрическими характеристиками камеры в качестве параметров.

Хотя выражение (17) является удобной для некоторых приложений формой, мы сможем установить ряд интересных и полезных фактов, если действительно выполним вычисления и затем преобразуем

результат в обычные декартовы координаты. А именно представим себе, что у нас есть точка объекта и мы хотим найти ее образ (припомним из предыдущего раздела, что только первая и третья компоненты точки изображения имеют значение). Подставив однородное представление в формулу (17) и разделив первую и третью компоненты результирующего вектора на четвертую компоненту, мы получим результат, имеющий большое значение:

Обсуждение этих внушительных выражений будет отложено до тех пор, пока мы не получим аналогичные выражения для обратного преобразования.

10.4.2. ОБРАТНОЕ ПЕРСПЕКТИВНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ: ДВЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

В общем случае обратное перспективное преобразование в однородных координатах может быть получено особенно легко из прямого преобразования (17). Так как каждая из четырех матриц имеет обратную,

Легко убедиться, что

и

Как мы это уже делали для прямого преобразования, полезно оценить выражение и перевести результат в обычные декартовы координаты путем деления каждой из первых трех компонент v на четвертую. Как обычно, пусть где свободный параметр. После утомительных вычислений мы получим

точку v объекта в следующем виде:

Здесь снова обратное преобразование может быть переведено в более удобную форму посредством представления точки v объекта в виде

причем центр объектива v, можно найти, устремив в формуле (23), а точку изображения (представленную в глобальных координатах) можно найти при Оценив формулу (23) для этих значений, найдем

и

Комбинируя формулы (10), (24) и (25), придем к нашему конечному выражению, задавая проектирующий луч для точки изображения , для свободного неотрицательного параметра X и для всех геометрических параметров камеры:

Перечислим результаты этого раздела. Мы обобщили простую проективную модель на случай с двумя системами координат таким образом, что все величины могут теперь быть измерены естественным путем. Формулы (17) и (19) задают прямое и обратное перспективные преобразования в однородных координатах, где однородные координаты точки изображения и точки объекта связаны соответственно с декартовыми координатами изображения и с декартовыми глобальными координатами. Формулы (18) и (26) задают преобразования непосредственно в декартовой системе координат изображения и в декартовой глобальной системе координат. В следующем разделе мы проиллюстрируем эти результаты, применяя их во многих различных ситуациях.