10.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СЪЕМКИ ИЗОБРАЖЕНИЯ

Наша цель в настоящей главе заключается в обсуждении перспективного преобразования, которое представляет собой естественное приближение первого порядка к процессу съемки изображения. В конечном счете мы выведем и проиллюстрируем примерами некоторые полезные общие соотношения между точками в трехмерном пространстве и их изображениями (образами) на картинке. В данный

же момент рассмотрим предмет исследования по возможности простейшим образом. Наша основная модель показана на рис. 10.1. Камера состоит из объектива с точечным отверстием и плоскости изображения, находящейся позади объектива на расстоянии Изображение точки v, лежащей в трехмерном пространстве, определяется пересечением плоскости изображения с проектирующим лучом, заданным точкой v и центром объектива.

Рис. 10.1. Элементарная модель камеры.

Мы будем далее всегда называть это пересечение точкой картинки или точкой изображения, соответствующей точке объекта

Хотя модель, показанная на рис. 10.1, правильно отображает ситуацию, она страдает маленьким недостатком: изображения перевернуты слева направо и сверху вниз. Чтобы избежать этого, мы перехватим проектирующий луч передней плоскостью изображения так, как показано на рис. 10.2. Эта передняя плоскость изображения может рассматриваться как плоскость, содержащая прозрачный диапозитив, в то время как задняя плоскость изображения содержит пленку-оригинал. Процесс, показанный на рис. 10.2, называется центральным проектированием, а точка объектива — центром проекции.

Иногда мы будем называть образ проекцией точки v на плоскость картинки. На рис. 10.2 показана также система координат, удобная для процесса центрального проектирования. Мы совместили ось Y с оптической осью или главным лучом камеры. Главным лучом называется луч, идущий от объектива перпендикулярно к

плоскости изображения. Началом координат является пересечение главного луча с плоскостью изображения.

Процесс центрального проектирования отображает много точек в одну. Как показано на рис. 10.2, несмотря на то что каждой точке объекта соответствует одна четко определенная точка изображения, все точки объекта, расположенные на линии, которая проходит через центр объектива, имеют один и тот же образ. Таким образом, для каждой точки изображения существует в пространстве линия, определенная этой точкой изображения и центром объектива, и на этой линии должна лежать соответствующая точка объекта.

Рис. 10.2. Модель камеры с передней плоскостью изображения.

Следовательно, перед нами возникают два вопроса фундаментальной важности, связанные с процессом съемки изображения: для данной произвольной точки объекта определить местоположение ее образа и для данной произвольной точки изображения определить, где расположена прямая линия, на которой должна лежать соответствующая точка объекта. Ответы на эти вопросы могут быть даны с помощью прямого и обратного перспективных преобразований.

Выведем, опираясь на интуицию, формулы прямого перспективного преобразования для простого случая, изображенного на рис. 10.2. Оказывается, что для ответа достаточно лишь рассмотреть подобие треугольников. Если принять, что тогда очевидно, что

и

или

Эти формулы особенно очевидны, если выбрать точку объекта или на плоскости (X, Y), или на плоскости так как в этом случае легко обнаружить подобные треугольники. Заметим также, что выражения (1) могут быть переведены в форму

которая является уравнением прямой линии, проходящей через точку объектива и точку картинки Таким образом, выражение (2) — это одна из форм обратного перспективного преобразования, так как для данной точки изображения оно задает уравнение соответствующей линии в пространстве. В оставшейся части главы мы тщательно исследуем эти простые уравнения и получим некоторые результаты общего характера, полезные в анализе сцен.