Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
12.4.3. МОНОКУЛЯРНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ СТРУКТУРЫВажной задачей в анализе сцен является задача определения по картинке (или по картинкам) трехмерной структуры видимой части объекта. В предыдущем обсуждении стереоскопического восприятия мы показали, как можно решить эту проблему, используя стереопару изображений; сейчас нас интересует решение, для которого требуется только одна картинка. Конечно, если мы совершенно ничего не знаем об интересующем нас объекте, то вполне понятно, что его трехмерную структуру нельзя определить по одной картинке. В последующем изложении принятое допущение будет состоять в том, что интересующий нас объект есть многогранник.
Рис. 12.17. Многогранник. Наша первая цель сводится к тому, чтобы разработать общий метод определения трехмерной структуры по информации, поставляемой единственной картинкой, и по «небольшому числу» дополнительных фактов. Затем мы усовершенствуем этот метод, приняв дополнительное ограничение, что многогранные объекты имеют степень 3. Для начала обратимся вновь к некоторым основным свойствам перспективных преобразований. Для конкретности мы свяжем эти свойства с простым многогранником, показанным на рис. 12.17. Каждая точка этой сцены, и в особенности каждое изображение вершины, определяет положение луча в пространстве. Каждая вершина реального трехмерного тела должна лежать на луче, который исходит из центра объектива камеры, проходит через образ вершины и продолжается в пространстве; точное положение вершины фиксировано, если мы знаем ее расстояние от центра объектива. Таким образом, если дана картинка (монокулярная), задача определения трехмерной структуры многогранника эквивалентна задаче определения расстояний от центра объектива до каждой из его семи вершин. Должно быть ясно, что картинка вместе с тем дополнительным фактом, что показанный объект есть многогранник, не дает достаточно информации для решения этой задачи. Предположим, однако, что мы также знаем положение в трехмерном пространстве вершин 1, 2, 3 и 7. Поскольку три точки задают положение плоскости, мы можем использовать трехмерные координаты вершин 1, 2 и 7, чтобы определить положение в пространстве плоскости А. Заметим теперь, что вершина 6 лежит на плоскости А; следовательно, ее положение фиксировано на пересечении соответствующего ей луча с этой плоскостью. Подобным же образом положение в пространстве вершины 4 можно определить, зная положения вершин 2, 3 и 7. В этой ситуации известны положения в пространстве вершин 4, 6 и 7, поэтому плоскость С фиксирована, и можно найти положение вершины 5. То есть в этом примере и для данной картинки достаточно иметь информацию о том, что показанный на картинке объект есть многогранник, и знать положение в пространстве вершин 1, 2, 3 и 7, чтобы определить положение в пространстве остальных вершин и, следовательно, трехмерную структуру видимой части многогранника. В связи с предыдущим примером естественно задать вопрос, достаточно ли в общем случае четырех любых «известных» вершин для определения трехмерной структуры. Ответ на этот вопрос отрицательный: если четыре точки не являются независимыми, т. е. если любые три из них лежат на одном ребре или если все они лежат на одной грани, то, как легко показать, этих точек недостаточно. Предположим, однако, что мы знаем четыре независимые точки многогранника, но допустим, что невозможно сцепить их вместе, как в предыдущем случае. Например, для рис. 12.17 мы можем знать пары противоположных вершин, таких, как 1, 2, 4 и 5; будет ли их достаточно, чтобы определить структуру? Для этого примера ответ положителен. Обозначив символом d неизвестное расстояние от объектива до вершины 7, можно задать вершину 6 через d и затем задать Вершину 5 через d; но положение вершины 5 уже известно, поэтому можно найти величину d и определить положение всех вершин. Описанный выше метод приводит к наблюдению, что некоторые характерные точки тела лежат более чем в одной плоскости. Поэтому метод можно формализовать, выразив это наблюдение в аналитической форме. Мы будем для простоты составлять все уравнения в системе координат, начало которой совпадает с центром объектива. Заметим прежде всего, что уравнение любой плоскости многогранника имеет вид
где х — трехмерный вектор точки, лежащей на плоскости, где u — единичный трехмерный вектор, направленный по лучу, и а — расстояние от точки до начала координат. Тогда условие того, что точка Р лежит на луче, заданном ее образом, и одновременно на плоскости, определяемой вектором v, может быть записано в виде
или
Применим этот простой анализ к сцене рис. 12.17. Мы будем индексировать переменные буквами или цифрами, чтобы указать плоскость или точку, к которой они относятся. Поскольку вершины I, 2, 6 и 7 находятся на плоскости А, мы напишем
Подобным же образом для плоскостей В и С мы напишем
и
Эта система линейных уравнений отображает тот факт, что различные характерные точки (в этом примере — все вершины) лежат на определенных плоскостях многогранника. Векторы Поучительно найти для случая произвольной картинки (с многогранником) число уравнений и переменных, используемых для выражения инцидентности точек и плоскостей. Для задания каждой плоскости необходимы три числа, а для каждой характерной точки — еще одно число, поэтому
С другой стороны, для каждой характерной точки на каждой плоскости может быть записано одно уравнение, поэтому
Разность между числом переменных и числом уравнений дает нижнюю границу для числа переменных, которые должны быть известны при определении трехмерной структуры многогранника. Нижняя граница достигается, когда результирующая система линейных уравнений имеет полный ранг. До сих пор разработанный метод был полностью общим. Для заданной произвольной картинки инцидентность точек и плоскостей можно выразить в виде линейной системы, обычными методами найти ранг системы и определить число свободных параметров. Если какими-либо другими средствами можно найти положения необходимого числа точек (независимых), то уравнения могут быть решены единственным образом, и задача определения трехмерной структуры оказывается решенной. Теперь нам хотелось бы дать другую интерпретацию описанной выше процедуры. Интерпретация ограничена картинками трехгранных тел, но представляет интерес, поскольку она уточняет расплывчатое понятие «сцепления» одной грани многогранника с другой. Интерпретация основана на использовании определенного вида дуального графа изображения многогранника. Узлы дуального графа соответствуют видимым плоскостям многогранника; два узла дуального графа связаны дугой, если у их граней имеется общее (и видимое) ребро 2). Однако, если две плоскости связаны более чем одним ребром (которые все обязательно коллинеарны), между соответствующими узлами помещается только одна дуга. Рис. 12.18, а показывает ступенчатое трехгранное тело; соответствующий дуальный граф показан на рис. 12.18, б. Чтобы показать, как можно использовать дуальный граф для интерпретации последовательного процесса сцепления одной грани многогранника с другой, предположим, что положения вершин А, С, D и Е известны; тогда известны положения граней 1 и 5.
Рис. 12.18. Слияние дуального графа трехгранного тела. Чтобы показать, что эти грани известны, мы сольем вместе соответствующие узлы, как это видно на рис. 12.18, е; другие дуги, связанные с узлами 1 и 5, остаются связанными и после слияния, гак же как и в процессе слияния узлов, обсуждавшемся выше. Чтобы поддержать соответствие с последующими шагами, рис. 12.18, в показывает предварительную дугу, введенную между узлами 1 и 5. Мы будем следовать правилу, что узлы могут быть слиты, если они связаны по крайней мере двумя дугами. Продолжение показано на рис. 12.18, г, где слитный узел «1,5» означает, что положение граней 1 и 5 в трехмерном пространстве известно. Теперь узел «1,5» связан двумя дугами с узлом 2. Это означает, что грань 2 имеет два общих неколлинеарных ребра с гранями, положение которых известно; поскольку известны положения граней, положения ребер также известны. Поскольку плоскость определяется двумя лежащими на ней произвольными неколлинеарными линиями, положение грани 2 также известно. Чтобы отобразить этот факт, узел 2 сливается с узлом «1,5», образуя узел «1, 5, 2», как показано на рис. 12.18, д. Этот процесс в нашем примере может повторяться, пока все первоначальные узлы не сольются в один. Проиллюстрированный выше процесс реально представляет собой всего лишь способ слежения на всех стадиях анализа за теми гранями многогранника, положение которых в трехмерном пространстве уже было определено. Основное правило слияния двух узлов, если они связаны по крайней мере двумя дугами, представляет собой другую формулировку условий, при которых положение одной грани может быть найдено по известным положениям смежных с ней других граней. Первоначальное добавление дуги может рассматриваться как некоторая уловка, позволяющая развязать процесс. Она равносильна утверждению, что две грани имеют общие неколлинеарные ребра; это явно невозможно, но дополнительное ребро представляет собой фиктивный эквивалент того, что положения двух плоскостей заданы. В данном примере это был случай, когда добавление единственного ребра позволяет нам слить все узлы в один. Когда такое имеет место, т. е. когда мы можем добавить единственную дугу таким образом, что все узлы могут быть последовательно слиты вместе, мы говорим, что граф С практической точки зрения дуальный граф приводит к альтернативному решению задачи определения числа степеней свободы в трехмерной структуре многогранника, а именно задача определения ранга системы линейных уравнений может быть заменена задачей определения степени сливаемости графа. Более того, конкретная последовательность слияний соответствует последовательности шагов, которые может сделать человек, раскрывая трехмерную структуру посредством цепного процесса. Это само по себе может привести к полезным догадкам, поскольку это демонстрирует шаги процесса, а не прячет их в одном «глобальном» процессе типа обращения матрицы.
|
1 |
Оглавление
|