Главная > Распознавание образов и анализ сцен
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 2. БАЙЕСОВСКАЯ ТЕОРИЯ РЕШЕНИЙ

2.1. ВВЕДЕНИЕ

Байесовская теория принятия решений составляет основу статистического подхода к задаче классификации образов. Этот подход основан на предположении, что задача выбора решения сформулирована в терминах теории вероятностей и известны все представляющие интерес вероятностные величины. В данной главе изложены основные положения этой теории и показано, что ее можно рассматривать просто как формализацию общепринятых приемов. В последующих главах рассматриваются задачи, возникающие в случаях, когда вероятностная структура известна не полностью.

Прежде чем дать в разд. 2.2 общее строгое изложение байесовской теории решений, остановимся на конкретном примере. Вернемся к рассмотренной в гл. 1 задаче построения классификатора, различающего два вида древесины — ясень и березу. Предположим, что наблюдателю, следящему за выпуском древесины с завода, представляется настолько трудным предсказать, какого вида древесина появится следующей, что последовательность ее видов кажется ему случайной. Используя терминологию теории решений, можно сказать, что появление куска древесины того или иного вида означает, что природа пришла в одно из двух состояний — древесина оказывается либо ясенем, либо березой. Обозначим состояния природы символом , причем для ясеня а для березы . Состояние со может рассматриваться как случайная величина в том смысле, что состояние природы не предсказуемо.

Если фабрика выпускает ясеня столько же, сколько березы, то можно сказать, что следующий кусок в равной мере может оказаться или ясенем, или березой. В общем случае предположим, что существует некоторая априорная вероятность того, что следующий кусок окажется ясенем, и — что это будет береза. Эти априорные вероятности отражают исходное знание того, с какой степенью уверенности можно предсказать ясень или березу до их действительного появления. Предполагается, что величины неотрицательны и сумма их равна единице.

Допустим сначала, что требуется решить, какой из видов древесины появится следующим, не видя ее. Единственная информация, которой мы располагаем, это величины априорных вероятностей. Если решение необходимо принять, исходя из столь малой информации, то разумно воспользоваться следующим решающим правилом, принять решение если в противном случае.

Эта процедура может показаться странной в том смысле, что в любом случае принимается одно и то же решение, хотя и известно о возможности появления обоих видов древесины. Насколько она хороша, зависит от величины априорных вероятностей.

Рис. 2.1. Пример плотности распределения, условной по классу.

Если намного больше, чем то наше решение отдавать предпочтение должно большей частью оправдываться. Если то у нас 50 шансов из 100 быть правыми. Вообще вероятность ошибки равна в данном случае меньшей из величин а из дальнейшего станет видно, что при таких условиях никакое другое правило решения не даст меньшей вероятности ошибки.

В большинстве случаев при выборе решения не ограничиваются столь малой информацией. В нашем примере в качестве определяющего признака можно взять яркость х оттенка древесины. Разные куски древесины выглядят светлее или темнее, так что естественно выразить это различие с помощью вероятностных законов, а х рассматривать как непрерывную случайную величину, распределение которой зависит от состояния природы. Пусть условная плотность распределения величины х в состоянии т. е. функция плотности распределения случайной величины х при условии, что состояние природы есть . В этом случае различие между отражает различие яркости оттенков ясеня и березы (рис. 2.1).

Допустим, что известны как априорные вероятности так и условные плотности Предположим далее, что мы измеряем яркость оттенка древесины и находим, что это есть х. Ответ на вопрос, в какой мере это измерение повлияет на наше представление об истинном состоянии природы, дает правило Байеса:

где

Правило Байеса показывает, как наличие измеренной величины х позволяет из априорной вероятности получить апостериорную вероятность .

Рис. 2.2. Апостериорные вероятности для

Зависимость от х для случая показана на рис. 2.2. Если при наблюдении получено значение х, для которого больше, чем то естественно склониться к решению, что истинное состояние природы есть Аналогично, если больше, чем , то естественно склониться к выбору . Чтобы обосновать это, вычислим вероятность ошибки при принятии решения, когда наблюдалось определенное значение

Очевидно, что в каждом из случаев, когда наблюдается одно и то же значение вероятность ошибки можно свести к минимуму, принимая решение если если Разумеется, мы не можем дважды наблюдать точно то же самое значение величины х. Будет ли это правило минимизировать среднюю вероятность ошибки? Да, поскольку средняя вероятность

ошибки определяется выражением

и если для каждого х вероятность достигает наименьшего значения, то и интеграл должен быть минимальным. Этим мы обосновали следующее байесовское решающее правило, обеспечивающее наименьшую вероятность ошибки:

Самим видом решающего правила подчеркивается роль апостериорных вероятностей. Используя уравнение (1), можно выразить это правило через условные и априорные вероятности. Заметим, что в уравнении (1) с точки зрения принятия решения роли не играет, являясь всего-навсего масштабным множителем, обеспечивающим равенство Исключив его, получим следующее решающее правило, полностью эквивалентное прежнему:

Чтобы пояснить существо вопроса, рассмотрим крайние случаи. Пусть для некоторого х получено, что так что конкретное наблюдение не дает информации о состоянии природы. В этом случае решение, которое мы примем, целиком зависит от априорных вероятностей. С другой стороны, если то состояния природы априорно равновозможны, и вопрос о принятии решения опирается исключительно на — правдоподобие при данном х. В общем случае при выборе решения важны обе указанные величины, что и учитывается правилом Байеса, обеспечивающим наименьшую вероятность ошибки.

1
Оглавление
email@scask.ru